Fonctions dérivées 1ère

[Sti2D]

Voilà les différents exercices sur lesquels je suis bloquée..

Merci d'avance pour votre aide!

[Barbidoux]

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Exercice 1

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Partie A

Soit la fonction f définie sur [ -17;17] par : f(x) =(2/5)*√(289-x^2) ( Le racine carré correspond pour 289-x²)

On apelle C sa courbe représentative dans un repoère orthogonal ( O, I ,J ) ( Unité graphiques: 0.5 cm en abscisse et 1cm en ordonnée).

Un logiciel de calcul formel donne, pour la fonction dérivée, la fonction f' définie pour tout x de ] -17;17[ par :

f'(x) = -2*x/√(17^2-x^2)=-2*x/√((17-x)*(17+x))

1. a) Etudier le signe de f'(x) pour tout réel x de ]-17;17[ et en déduire le tableau de variation de f.

x............................(-√17).....................0......................√17

√((17-x)*(17+x)).......(0)...........(+)..................(+)..........(0)

-x..............................................(+)........(0)......(-)...........(0)

f'(x)...........................||.............(+).........(0).......(-)...........||

f(x)............................||........crois..........Max.....decrois....||

b) Tracer les éventuelles tangentes horizontales, puis la courbe C.

Tangente horizontale en x=0

2. En exploitant le tableau de variation de f :

a) donner le maximum de f sur [ -17; 17 ];

f(0)=34/5

b) donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = 5 et une valeur approchée à 10 -2 près de chacune des solutions.

f(x)=5=(2/5)*√(289-x^2) ==> 25/2=√(289-x^2) ==> 625/4=289-x^2 ==> x= ± √(289-625/4)= ± 11,52 m

Partie B

La voute d'une arche de pont est une demi-ellipse, qui, dans un repère orthogonal ( O,I,J) , a pour équation y = (2/5)(√(17^2-x^2) ( les distances x et y sont en mètres ).

1. Quelle est la hauteur maximale sous cette arche ?

34/5 m

2. La coupe d'une péniche est assimilée à un rectangle, comme sur la figure ci-dessus.

On suppose que la péniche a un tirant d'air ( hauteur au dessus de la ligne de flottaison ) de 4.5 m. Pour des raisons de sécurité, elle passe au plus près de 0.5m sous la voûte du pont. Donner une valeur approchée au cm près de la largeur maximale que doit avoir une telle péniche.

f(x)=5 ==> x=±11.52 soit une largeur maximale de 23,04 m

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Exercice 57

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Conjecture à l'aide d'une calculatrice

Sur une calculatrice graphique, tracer la courbe représentative de la fonction x ----> x^3 et la droite d'équation y = 15x+4. Emettre une conjecture sur le nombre de solutions de l'équation x^3 = 15*x+4.

Trois solutions x≈ -3.7, x≈ =-0.3 et x=4

2) A l'aide d'une étude de fonction:

On considère la fonction f définie sur R par : f(x)= x^3 -15x-4

.a) Déterminer la fonction dérivée de f. Etudier le signe de f'(x).

f'(x)=3*x^2-15 =3*(x+√5)*(x-√5)

Le signe d'un polynôme du second degré est celui du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines

b) Etablir le tableau de variation de f.

x..................(-√5).........................(√5).......................

f'(x).....(+)......(0)..........(-).............(0).........(+)...........

f(x)...crois...Max.....décrois..........Min ....crois............

c) Utiliser le tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 dans l'intervalle [ -5; 5 ], puis le nombre de solutions dans R. Cela confirme-t-il ou non la conjecture émise au 1.?

f(-5)=-54, f(-√5)=18.360, f(√5)=-26.361, f(5)=45

Conclusion : compte tenu du tableau de variation de f(x) on peut dire que le graphe de f(x) coupe l'axe des abscisses sur les intervalle [-5,-√5, ], [-√5,+√5)] et [√5,5]

3) Recopier et compléter le tableau suivant.

x...........-4........ -3....... -2....... -1....... 0....... 1............2....... 3......... 4

f(x).......-8........ 14....... 18...... 10..... -4..... -18........ -26.... -22........ 0

En déduire un encadrement entre deux entier consécutifs, ou la valeur exacte, de chacunes des solutions.

-4 < x1< -3, -1< x2 < 0 et x=4

4. Résolution algébrique

a) Montrer que pour tout réel x, on a : x^3 -15x -4 = (x-4)(x^2+4x+1)

f(x)=(x-4)(x^2+4x+1)=x^3-15*x-4

b) Résoudre alors l'équation x3 -15x-4=0. (On vérifiera que les solutions exactes trouvées sont bien dans les intervalles obtenus à la question 1.c).)

f(x)=(x-4)(x^2+4x+1)=f(x)=(x-4)((x+2)^2-3)=(x-4)*(x+2+√3)*(x+2-√3) ==> 3 racine x=4 , x=-2-√3 et x=-2+√3

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Exercice 56

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f(x)=5 - 4/(x + 2) ==> f'(x)=4/(x + 2)^2

f(0)=3 et f'(0)=1, f'(x) >0 ==> fonction croissante sur [0,2]

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g(x)=-x^3 + x^2 + x + 3 ==> g'(x)-3*x^2+2*x+1 ==> deux racines (x=-1/3 et x=1)

g(0)=3 et g'(0)=1

x............................-1/3.....................1..................

g'(x).......(-).............(0)........(+).......(0).....(-).......

g(x).....decrois....Min.....crois......Max...decrois......

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h(x)=(x + 3)/(x^2 + 1) ==> h'(x)=-(2*x*(x+3)/(x^2+1)^2-1/(x^2+1)=-(x^2+6*x-1)/(x^2+1)^2

le polynôme x^2+6*x-1 admet deux racines x=-3-√10 et x=-3+√10

h(0)=3 et h'(0)=-1

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La seule fonction qui convient est donc g(x)=-x^3 + x^2 + x + 3

[Sti2D]

Merci beaucoup pour votre aide!