Fonction logarithme népérien et exposant réels

[jerem=besoins d'aide]

Partie A /

SOIT la fonction f définie sur l'intervalle [0; 3] par f(x) = x+1 -In (3x+1).

1) a) Calculer f'(x) et montrer que f'(x) = (3x-2)/ 3x+1

b) En déduire le signe de f'(x) sur [0:3 ] puis dresser le tableau de variation de f.

2) Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant les valeurs décimales de f(x) arrondies à 10^-2 près. [ x |0|0.5|2/3|1|1.5|2|2.5|3]

[f(x)| | | | | | |1.36| ]

3) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0.

4) Tracer la tangente T et la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.

Partie B:

On peut modéliser le taux d'anticorps ( en g. L ^-1) présent dans le sang d'un nourrisson en fonction de son âge x (en années) par la fonction g définie sur l'intervalle [0 ; 2] par g(x) = 12x +12 -12 In (3x+1).

1) Calculer le taux d'anticorps à la naissance.

2) a) Exprimer g(x) en fonction de f(x).

b) Déterminer l'âge auquel le taux d'anticorps est le plus bas. Exprimer cet âge en mois et donner le taux d'anticorps correspondant.

3) Déterminer graphiquement, à l'aide de la courbe de la partie A, l'âge auquel le nourrisson retrouve son taux d'anticorps à la naissance ( on fera les tracés utiles sur le graphique).

[pzorba75]

1 f(x) = x+1 -In (3x+1).

=>f'x)=1-3/(3x-1)=(3x+1-3)/(3x+1)=(3x-2)/(3x+1)

2 f'(x)<0 x in[0,2/3] et f'(x)>0 x in[2/3;3]

=f décroissante sur [0;2/3] et croissante de [2/3;3]

A toi de vérifier et de terminer.