Optimisation à deux variables

[ludivine83]

Bonjour j'aurai aimé une aide pour ce sujet, s'il vous plait je galaire à le finir.

Merci d'avance.

Un confiseur souhaite expédier par la poste des boîtes de marrons glacés et de pâtes de fruits.

Chaque paquet-poste peut contenir au maximum 20 boîtes, et au maximum 5 kg.

Une boîte de marrons glacés pèse 200 g, une de pâtes de fruits 350 g.

Dans chaque paquet-poste, il veut mettre au moins 2 boîtes de marrons glacés.

Soit x le nombre de boîtes de marrons glacés, et y celui de boîtes de pâtes de fruits mises dans un paquet-poste.

a) Montrer que les nombres x et y doivent vérifier le système (S) suivant, avec x et y entiers :

S= x + y < ou = à 20

200x + 350y < ou = à 5 000

x > ou = à 2

y > ou = à 0

b) On a représenté sur le graphique fourni en annexe 1 les droites d et d’ d’équation respective :

y = −x + 20 et y = − 4 x + 100

7 7

En transformant les deux premières inéquations du système, montrer que ces droites permettent la résolution graphique du

système (S). Résoudre alors graphiquement le système (S).

On hachurera les zones du plan qui ne conviennent pas.

c) À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

– le confiseur peut-il mettre 12 boîtes de marrons glacés et 7 de pâtes de fruits dans un paquet-poste ?

– le confiseur peut-il mettre 16 boîtes de marrons glacés et 4 de pâtes de fruits dans un paquet-poste ?

– le confiseur peut-il mettre 10 boîtes de marrons glacés et 9 de pâtes de fruits dans un paquet-poste ?

Une boîte de marrons glacés rapporte 1,80 euro, une de pâtes de fruits 2,20 euros.

a) Exprimer en fonction de x et y ce que rapporte le contenu d’un paquet-poste.

b) On utilise un tableur pour déterminer le couple (x ; y) qui rapporte le plus.

On donne en annexe 2 la feuille de calcul de ce que rapporte le contenu d’un paquet-poste. Par exemple, la cellule E6 donne ce que rapporte un paquet-poste contenant 2 boîtes de marrons glacés et 3 boîtes de pâtes de fruits.

Pour remplir ce tableau, on a rentré les bénéfices dans les cellules B1 et F1, puis on a rentré une formule dans la cellule B4 et effectué un « copier-glisser » dans les autres cellules du tableau.

Donner la formule rentrée en B4.

c) Dans le tableau, certaines cellules correspondent à des valeurs de x et y qui ne conviennent pas (par exemple, on ne peut pas

mettre 12 boîtes de marrons glacés et 9 boîtes de pâtes de fruits).

Barrer les cellules correspondant à ces valeurs de x et y.

d) En déduire le bénéfice maximum possible sur un paquet-poste, et indiquer les valeurs de x et y correspondantes.

[Barbidoux]

Un confiseur souhaite expédier par la poste des boîtes de marrons glacés et de pâtes de fruits.

Chaque paquet-poste peut contenir au maximum 20 boîtes, et au maximum 5 kg.

Une boîte de marrons glacés pèse 200 g, une de pâtes de fruits 350 g.

Dans chaque paquet-poste, il veut mettre au moins 2 boîtes de marrons glacés.

Soit x le nombre de boîtes de marrons glacés, et y celui de boîtes de pâtes de fruits mises dans un paquet-poste.

a) Montrer que les nombres x et y doivent vérifier le système (S) suivant, avec x et y entiers :

S= x + y < ou = à 20

200x + 350y < ou = à 5 000

x > ou = à 2

y > ou = à 0

b) On a représenté sur le graphique fourni en annexe 1 les droites d et d’ d’équation respective :

y = −x + 20 et y = − 4 x/7 + 100/7

En transformant les deux premières inéquations du système, montrer que ces droites permettent la résolution graphique du

système (S). Résoudre alors graphiquement le système (S).

y≤-x+20

y≤-4*x/7+100/7

On hachurera les zones du plan qui ne conviennent pas.

La zone qui convient est entourée par une ligne verte

c) À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

– le confiseur peut-il mettre 12 boîtes de marrons glacés et 7 de pâtes de fruits dans un paquet-poste ? (oui point rouge sur le graphe)

– le confiseur peut-il mettre 16 boîtes de marrons glacés et 4 de pâtes de fruits dans un paquet-poste ? (oui point bleu sur le graphe)

– le confiseur peut-il mettre 10 boîtes de marrons glacés et 9 de pâtes de fruits dans un paquet-poste ? (oui point vert sur le graphe)

Une boîte de marrons glacés rapporte 1,80 euro, une de pâtes de fruits 2,20 euros.

a) Exprimer en fonction de x et y ce que rapporte le contenu d’un paquet-poste.

1.80*x+2.2*y

b) On utilise un tableur pour déterminer le couple (x ; y) qui rapporte le plus.

On donne en annexe 2 la feuille de calcul de ce que rapporte le contenu d’un paquet-poste. Par exemple, la cellule E6 donne ce que rapporte un paquet-poste contenant 2 boîtes de marrons glacés et 3 boîtes de pâtes de fruits.

Pour remplir ce tableau, on a rentré les bénéfices dans les cellules B1 et F1, puis on a rentré une formule dans la cellule B4 et effectué un « copier-glisser » dans les autres cellules du tableau.

Donner la formule rentrée en B4.

c) Dans le tableau, certaines cellules correspondent à des valeurs de x et y qui ne conviennent pas (par exemple, on ne peut pas

mettre 12 boîtes de marrons glacés et 9 boîtes de pâtes de fruits).

Barrer les cellules correspondant à ces valeurs de x et y.

en jaune dans le tableur

d) En déduire le bénéfice maximum possible sur un paquet-poste, et indiquer les valeurs de x et y correspondantes.

38,80 en rouge dans le tableur 13 boites de marrons glacés et 7 de pâtes de fruit