DM sur les fonctions

[arole]

Bonjour à tous, j'ai un devoir maison à faire mais je suis un peu bloquée, voici l'énoncé :

On considère une feuille de papier de dimension 24 cm et 32 cm.

On plie cette feuille selon le segment [MP], en plaçant le point C sur le segment [AD].

On note N le point du segment [AD] sur lequel va se placer le point C.

On s'intéresse à la longueur du pli [MP].

1/ Construire la figure et établir une cojecture sur le pli minimal que l'on peut ainsi obtenir.

2/ On pose x= MP et y= CP

a) Montrer que x appartient à l'intervalle ]12;24].

b) Exprimer la distance DN en fonction de x.

c) Exprimer les aires des triangles MDN, MNP et PMC en fonction de x et y.

d) En exprimant de deux façons l'aire du trapèze CDNP, déterminer l'expression de y en fonction de x.

e) En déduire l'expression de MP en fonction de x

3/ Déterminer la valeur de x pour laquelle la longueur MP est minimale (Dans cette question, des justifications rigoureuses sont attendues.)

J'espère que quelqu'un pourra m'aider merci d'avance!

[Barbidoux]

On considère une feuille de papier de dimension 24 cm et 32 cm.

On plie cette feuille selon le segment [MP], en plaçant le point C sur le segment [AD].

On note N le point du segment [AD] sur lequel va se placer le point C.

On s'intéresse à la longueur du pli [MP].

1/ Construire la figure et établir une cojecture sur le pli minimal que l'on peut ainsi obtenir.

2/ On pose x= MC et y= CP

a) Montrer que x appartient à l'intervalle ]12;24].

Lorsque C est en D on a MC=x=12

Lorsque MC et AD sont superposés et C en C'on a CM=CD=24 ==> x appartient à [12,24]

b) Exprimer la distance DN en fonction de x.

Par construction MC=MN=x et DM=24-x. Pythagore dans MDN ==> ND=√(MN^2-ND^2)=√(x^2-(24-x)^2)=√(48*(x-12)=4*√(3*(x-12))

c) Exprimer les aires des triangles MDN, MNP et PMC en fonction de x et y.

Aire MDN =MD*DN/2=(24-x)*4*√(3*(x-12))/2=2*(24-x)*√(3*(x-12))

N étant le symétrique C para rapport à MP, les triangles MNP et MC sont rectangles et égaux

Aire MNP=Aire MPC=x*y/2

d) En exprimant de deux façons l'aire du trapèze CDNP, déterminer l'expression de y en fonction de x.

aire trapèze CDNP=(CP+ND)*DC/2=(y+4*√(3*(x-12))*24/2=12*(y+4*√(3*(x-12))

aire trapèze CDNP=(Aire MDN +Aire MNP+Aire MPC)= 2*(24-x)*√(3*(x-12))+x*y

2*(24-x)*√(3*(x-12))+x*y-12*(y+4*√(3*(x-12))=0

-2*√3*x*√(x-12)- 12 y + x y=0

-2*√3*x*√(x-12)- y*(12 -x)=0

y= (-2*√3*x*√(x-12))/( x-12)= (-2*√3*x)/√(x-12)

e) En déduire l'expression de MP en fonction de x

Pythagore dans MCP ==> MP=√(x^2+y2)=√(x^2+12*x/(x-12)=√(x^3/(x-12))

3/ Déterminer la valeur de x pour laquelle la longueur MP est minimale (Dans cette question, des justifications rigoureuses sont attendues.)

MP étant une distance donc >0 le minimum de Mp est aussi celui de f(x)=MP^2=x^3/(x-12)

f'(x)=(3 x^2)/(x - 12) - x^3/(x - 12)^2=(2 (x - 18) x^2)/(x - 12)^2 qui s'annule pour x=18 en étant négative avant et positive après ce qui montre que MP^2 donc MP passe par une valeur minimale pour x=18

[arole]

Merci beaucoup pour votre aide Barbidoux !