Dm de spé maths

[chocali]

Bonjour j'aimerais que l'on me corrige et que l'on m'aide pour certaines questions :

Ex 1 : On note 0,1,2,...,9,alpha,béta les chiffres de l'écriture d'un nombre en base 12. Par exemple :

béta.alpha.7 en base 12 = béta*12² + alpha*12 + 7 = 11*12² + 10*12 + 7 = 1711 en base 10

1. a. Soit N₁ le nombre s'écrivant en base 12 : N₁ = béta.1.alpha

Déterminer l'écriture de N₁ en base 10.

N₁ = béta*12² + 1*12 + alpha

= 11*12² + 1*12 + 10

= 1606 en base 10

b. Soit N₂ le nombre s'écrivant en base 10 : N₂ = 1131 = 1*10³ + 1*10² + 3*10 + 1

Déterminer l'écriture de N₂ en base 12.

1131 = 12*94 + 3

94 = 12*7 + 10

7 = 12*0 + 7

N₂ = 7.alpha.3 en base 12

Dans toute la suite, un entier naturel N s'écrira de manière générale en base 12 : N = a_n...a₁a₀ en base 12

2. a. Démontrer que N est congrue à a₀ modulo 3. En déduire un critère de divisibilité par 3 d'un nombre écrit en base 12.

N est congrue à a_n*12ⁿ + ... + a₁*12 + a₀ (3)

N est congrue à a_n*(3*4)ⁿ + ... + a₁*(3*4) + a_{0 (3)}

Donc N est congrue à a₀ (3)

Un nombre écrit en base 12 divisé par 3 sera égale à a₀ divisé par 3.

b. A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si N₂ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.

N₂ = 7.alpha.3 en base 12

N₂ est congrue à 7*12² + alpha*12 + 3 (3)

N₂ est congrue à 7*(3*4)² + alpha*(3*4) + 3 (3)

N₂ est congrue à 3 (3)

N₂ est congrue à 0 (3)

N₂ = 1131 en base 10

N₂ est congrue à 1*10³ + 1*10² + 3*10 +1 (3)

N₂ est congrue à 1*(3²+1)³ + 1*(3²+1)² + 3*(3²+1) + 1 (3)

N₂ est congrue à 1*1³ + 1*1² + 3*1 +1 (3)

N₂ est congrue à 6 (3)

N₂ est congrue à 0 (3)

3. a. Démontrer que N est congrue à a_n + ... + a₁ + a₀ (11). En déduire un critère de divisibilité par 11 d'un nombre écrit en base 12.

N est congrue à a_n*12ⁿ + ... + a₁*12 + a₀ (11)

N est congrue à a_n*1ⁿ + ... + a₁*1 + a₀ (11)

N est congrue à a_n + ... + a₁ + a₀ (11)

Un nombre écrit en base 12 divisé par 11 est égale à la somme des nombres multipliés par 12 divisé par 11.

b. A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si N₁ est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.

N₁ = béta.1.alpha en base 12

N₁ est congrue à béta*12² + 1*12 + 10 (11)

N₁ est congrue à béta*1² + 1*1 + alpha (11)

N₁ est congrue à 11 + 1 + 10 (11)

N₁ est congrue à 22 (11)

N₁ est congrue à 0 (11)

N₁ = 1606 en base 10

N₁ est congrue à 1*10³ + 6*10² + 6 (11)

N₁ est congrue à 1*(-1)³ + 6*(-1)² + 6 (11)

N₁ est congrue à -1 + 6 + 6 (11)

N₁ est congrue à 11 (11)

N₁ est congrue à 0 (11)

4. Un nombre N s'écrit x.4.y en base 12. Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.

Ex 2 :

1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels a et b tels que l'on ait :

PGCD (a;b) = 42

et PPCM (a;b) = 1680

avec a<=b

a = 42a' et b = 42b' avec a' et b' appartenant à N privé de 0, a et b premiers entre eux, a'<=b'

42a'b' = 1680

a = 42a' et b = 42b'

a'b' = 40

a =42a' et b = 42b'

a' = 1 ou 2 ou 4 ou 5

b' = 40 ou 20 ou 10 ou 8

Donc a = 42 et b = 1680

ou a = 84 et b = 840

ou a = 168 et b = 420

ou a = 210 et b = 336

Réciproquement : si a = 42 et b= 1680

alors PGCD (42;1680) = 42

et PPCM (42;1680) = 1680

Le couple (42;1680) est solution.

si a = 84 et b = 840

PGCD (84;840) = 84

Le couple (84;840) n'est pas solution.

si a = 168 et b = 420

alors PGCD (168;420) = 84

Le couple (168;420) n'est pas solution.

si a = 210 et b= 336

alors PGCD (210;336) = 42

et PPCM (210;336) = 1680

Le couple (210;336) est solution.

2. Déterminer tous les éléments (a;b) de N² qui vérifient la relation suivante : PPCM (a;b) - 9PGCD (a;b) = 13

Voila je voudrais si possible que l'on m'aide. Merci

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Le premier est facile. Donc, je laisse le soin à d'autres de t'aider par manque de temps.

Pour l'exo 2 qui est plus théorique. Je vais t'aider un peu.

Le premier est incompréhensible. Est-ce vraiment de toi ?

1) PGCD(a,b) = 42 => il existe kk' dans N* tel que a=42k et b=42k' vérifiant PGCD(k,k') = 1.

Comme PGCD(a,b)*PPCD(a,b) = |ab|, on a 42*1680 = 42²*kk' => 40 = kk'.

Donc, (PGCD(a,b)=42 et PPCD(a,b)=1680) => (PGCD(k,k')=1 et 40=kk').

40 = 1*40 Ok car PGCD(1,40) = 1.

40 = 2*20 Non car PGCD(2,20) = 2.

40 = 4*10 Non car PGCD(4,10) = 2.

40 = 8*5 Oui car PGCD(8,5) = 1.

Donc, les couples solutions sont (1*42,40*42) et (5*42 ; 8*42) car a<=b. Sinon, on aurait le couples permutés en plus.

2) D'après la relation PGCD(a,b)*PPCM(a,b) = |ab| = ab car a,b > 0. On a ab = PGCD(a,b)*(9*PGCD(a,b)+13).

Par identification, on a :

* a = PGCD(a,b) et b = 9*a+13

* b = PGCD(a,b) et a = 9*b+13

=>

* il existe alpha dans N* tel que b = alpha*a et a = 13/(alpha-9). Cette dernière a pour solution alpha = 10 et alpha = 22. On en tire les couples (13;130) et (1;22)

* tu fais la même chose et tu trouves les couples permutés.

Mais par cette méthode, tu n'assures pas avoir eu tous les éléments possibles (à cause de l'identification qui n'est pas assuré comme unique).

Enfin, voila de quoi méditer un peu. Mais je ne reviendrai pas avant vendredi prochain.

[Boltzmann_Solver]

Deuxième identification :

PGCD(a,b) = 1 et 9*PGCD(a,b) + 13 = ab => (1,22) ou (2,11) ou (22,1) ou (11,2).

Dernière identification simple :

PGCD(a,b) = ab et 9ab+13 = 1 => PGCD(a,b) = ab et 3ab+4=0 => b = -4/(3a). Equation sans solution.

Mais comme je te l'ai dit. Cette méthode n'est pas parfaite car l'identification n'est pas unique pour dire qu'on a toutes les solutions. Il manque par exemple (65,26).

[elp]

soit m le ppmc et d le pgdc de a et b.

on sait que md=ab.

on en déduit que m=ab/d

On sait aussi que a=a'd et b=b'd avec a' et b' premiers entre eux.

d'après l'énoncé: m-9d=13 ce qui équivaut à ab/d-9d=13

puis à a'd*b'd/d-9d=13 donc à

da'b'-9d=13

d(a'b'-9)=13.

d est un diviseur de 13 donc d=1 ou 13

Si d=1 alors a'b'-9=13 donc a'b'=22=1*22=2*11

On a alors a'=1 et b'=22 (et inversement) ou bien a'=2 et b'=11 (et inversement)

donc les solutions (1,22) (22,1) (2,11) (11,2)

Si d=13 alors a'b'-9=1 donc a'b'=10

On a alors a'=1 b'=10 (et inv) ou a'=2 b'=5 (et inv)

donc les solutions (13,130) (130,13) (26,65) (65,26)