Sujet Terminale S Étude De Fonctions + Complexes.

[Matheux29]

Bonsoir tout le monde, voici l'intitulé de mon devoir maison à rendre pour la rentrée :

-On considère la courbe (H) d'équation y² - x² =1 dans un repère orthonormal direct (O; i; j). Le but de cet exercice est de tracer (H) et de montrer qu'il s'agit d'une courbe d'un type connu.

1) Montrer que (H) est la réunion de la représentation graphique © de la fonction f : x |-> racine(x² + 1) et d'une autre courbe que l'on précisera.

2-Étude de f et tracé de (H):

a)Déterminer l'ensemble de définition de f.

b)Étudier la parité de f.

c)Étudier les variations de f sur [0;+inf[.

d)Déterminer limite (f(x)-x) quand x tend vers +inf. Que peut on déduire pour la droite (T) d'equation y = x ?

e)Étudier la position de © par rapport à (T).

f)Tracer © puis (H).

3)Nature de (H):

-Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O;u,v), on considère la rotation R de centre O et d'angle  -pi/4.

Soit M un point d'affixe z=x+iy et M' d'affixe z'=x'+iy' son image par la rotation R.

a)Exprimer x et y en fonction de x' et y'.

b)Déterminer une équation de l'image (H') de (H) par R.

c)Quelle est la nature de (H') ? En déduire la nature de (H).

Je n'arrive même pas la première question donc j'aurais besoin de votre aide. Je vous remercie d'avance.

[pzorba75]

1) Montrer que (H) est la réunion de la représentation graphique © de la fonction f : x |-> racine(x² + 1) et d'une autre courbe que l'on précisera.

A l'infini, la courbe C est la droite y=x, bissectrice du premier secteur du plan orienté.

2-Étude de f et tracé de (H):

a)Déterminer l'ensemble de définition de f.

f est définie sur R, x^2+1 étant toujours positif.

b)Étudier la parité de f.

f(-x)=f(x) don f est paire.On étudiera f sur [0;+infty] dans la suite de cet exercice.

c)Étudier les variations de f sur [0;+inf[.

Sur [0;+infty], x croît, x^2 croît, x^2+1 croît, sqrt est croissante donc f est croissante

d)Déterminer limite (f(x)-x) quand x tend vers +inf. Que peut-on déduire pour la droite (T) d'équation y = x ?

sqrt(x^2+1)-x=(sqrt(x^2+1)-x)*(sqrt(x^2+1)+x)(sqrt(x^2+1)+x)=1/(sqrt(x^2+1)+x)

lim(x->infty)[sqrt(x^2+1)+x]=+infty

lim(x->infty)[sqrt(x^2+1)-x]=1/infty=0+

e)Étudier la position de © par rapport à (T).

la courbe de f est au dessus de la droite x car lim(x->infty)=0+

f)Tracer © puis (H)

Pour les complexes, plus tard si j'ai du temps.

AU travail pour rédiger tout cela correctement.

[Matheux29]

Je te remerci beaucoup. À plus tard.

[pzorba75]

3)Nature de (H):

-Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct (O;u,v), on considère la rotation R de centre O et d'angle -pi/4.

Soit M un point d'affixe z=x+iy et M' d'affixe z'=x'+iy' son image par la rotation R.

a)Exprimer x et y en fonction de x' et y'.

z'-0=e^(-i*pi/4)(z-0) est l'équation complexe d'une rotation de centre O et d'angle -pi/4

Il vient :

z'=[cos(-pi/4)+i*sin(-pi/4)]z

x'+i*y'=(sqrt(2)/2-i*sqrt(2)/2)(x+iy)=sqrt(2)/2*x+i*sqrt(2)/2t*y-i*x*sqrt(2)/2-i^2*sqrt(2)/2*y

=sqrt(2)/2*(x+y)+i*sqrt(2)/2*(y-x)

x'=sqrt(2)/2*(x+y)

y'=sqrt(2)/2*(y-x)