Exercice Sur Les Probabilités

[jean luc]

bonjour

j'ai un exercice de math a faire que je n'y arrive pas pouvez vous m'aidez svp.

Voici l'exercice:

Une association organise une loterie pour laquelle une participationm exprimée en

euros est demandée.

Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant

2 boules vertes et 3 boules jaunes.

Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu.

Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m.

Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner

une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit :

• sur 1/8 de la roue le gain est de 100 €

• sur 1/4 de la roue le gain est de 20 €,

• sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m.

On appelle V l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ».

On appelle J l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ».

On appelle R l’évènement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne

rien ».

1. Quelques calculs.

a. Calculer les probabilités P(V) et P(J) des évènements respectifs V et J.

b. On note PV® la probabilité pour le joueur d’être remboursé sachant

qu’il a obtenu deux boules vertes. Déterminer PV® puis P(R∩V).

c. Calculer P®.

d. Calculer la probabilité de gagner les 100 €, puis la probabilité de gagner

les 20€ de la roue.

2. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’està-

dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation

initiale m.

a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X.

b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que

p(X = −m) est 0,6.

c. Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X est

E(X) = (140 - 56m) /80

.

d. L’organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro.

Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que l’organisateur puisse

espérer ne pas perdre d’argent ?

3. Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats

obtenus.

Calculer la probabilité qu’il perde aumoins une fois samise.

4. On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de

sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois.On note G cet évènement.

Pour cela on garde deux boules vertes dans l’urne mais on modifie le nombre

de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose n >1.

Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée.

merci

[Barbidoux]

Une association organise une loterie pour laquelle une participationm exprimée en

euros est demandée.

Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant

2 boules vertes et 3 boules jaunes.

Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu.

Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m.

Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner

une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit :

• sur 1/8 de la roue le gain est de 100 €

• sur 1/4 de la roue le gain est de 20 €,

• sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m.

On appelle V l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ».

On appelle J l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ».

On appelle R l’évènement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne

rien ».

1. Quelques calculs.

a. Calculer les probabilités P(V) et P(J) des évènements respectifs V et J.

La probabilité de tirer une première boule verte est de 2/5, elle est de 1/4 de tirer une seconde boule verte donc la probabilité de tirer deux boules vertes vaut P(V)=(2/5)*(1/4)=1/10

La probabilité de tirer une première boule jaune est de 3/5, elle est de 2/4 de tirer une seconde boule verte donc la probabilité de tirer deux boules jaunes vaut P(J)=(3/5)*(2/4)=3/10. En conséquence la probabilité de tirer deux boules de couleur différentes vaut P(JV)=1-P(V)-P(J)=6/10

b. On note PV( R) la probabilité pour le joueur d’être remboursé sachant

qu’il a obtenu deux boules vertes. Déterminer PV( R) puis P(R∩V).

Le joueur ayant tiré deux boules vertes à une probabilité d'être remboursé égale à 1-1/8-1/4=5/8

P(R∩V)=(1/10)*(5/8)=5/80

Calculer P(R ).

P(R )=P(J)+ PV(R )=3/10+5/80=29/80

d. Calculer la probabilité de gagner les 100 €,

P{X=100}=(1/10)*(1/8)=1/80

puis la probabilité de gagner les 20€ de la roue.

P{X=100}=(1/10)*(1/4)=1/40

2. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est-à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m.

a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X.

X={0,-m, 100-m, 20-m}

b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que p(X=−m) est 0,6.

P(X)={29/80,6/10,1/80,1/40}

et p(X = −m) est 0,6.

c. Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X est E(X) = (140 - 56 ??? m) /80

E{X}=0*29/80-m*6/10+(100-m)/80+(20-m)/40=(140-51*m)/80

d. L’organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro.

Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent ?

Pour que l'organisateur l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent il faut que l'espérance soit < 0 ce qui se produit pour m>2 €

3. Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus. Calculer la probabilité qu’il perde aumoins une fois sa mise.

L'issue de chaque partie jouée est une variable de Bernoulli B{1, 0.4) et probabilité qu'il qu’il perde aumoins une fois sa mise vaut P=(1C4)*0.4^4*(1-0.4)^0=0.9744=97.44%

4. On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois. On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l’urne mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose n >1. Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée.

Dans le cas où il y a 2 boule vertes et n boules jaunes la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes, ou deux boules vertes et de tomber ensuite sur les 5/8 de la roue vaut maintenant :

P=n*(n-1)/((2+n)*(1+n))+(5/8)*2/((2+n)*(1+n))=(8*n*(n-1)+10)/(8*(2+n)*(1+n))

p>1/2 ==>(8*n*(n-1)+10)/(8*(2+n)*(1+n))>1/2 ==> (8*n*(n-1)+10)/(8*(2+n)*(1+n))-1/2>0

(2*(8*n*(n-1)+10)-(8*(2+n)*(1+n))/((8*(2+n)*(1+n))>0

(8*n^2-40*n+4)/(8*n^2+24*n+16)>0

Le polynôme du numérateur admet deux racines qui sont n=0.102 et n=4.90, celui du dénominateur deux racines qui sont -1 et -2. On en déduit que P>1/2 lorsque n>4 c'est à dire lorsqu'il y a un nombre de boule jaunes égal ou supérieur à 5.

A vérifier et sans certitude, les probabilités n'étant pas ma tasse de thé....