Triangle Inscrit Dans Un Cercle

[marine_r]

Bonjour a tous ! J'ai vraiment besoin de vous, je n'arrive vraiment pas a faire ce TP sur Geogebra, je n'y comprend rien ... Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

S'il vous plait ... Merci beaucoup d'avance

Le plan est muni du repéré orthonormé direct (O,i,j) on note I(1;0) et on considéré un réel a € [0;pi] repérant le point M sur le cercle trigonométrique de centre O. On note M' le symétrique du point M par rapport à l'axe des abscisses .

But du TP : Déterminer pour quelle(s) éventuelle(s) valeurs de a, l'aire du triangle IMM', exprimée en unités d'aire est maximale .

Partie I : conjecture

- Munir d'une nouvelle feuille Geogebra de son repère orthonormé y placer le point O de coordonnées (0;0) ainsi que le cercle C de centre O et de rayon 1. Ne pas oublier le point I .

2- Comme sur la capture d'écran ci-contre (image1) créer un curseur a qui soit une mesure d'angle exprimée en radian et comprise entre 0 et Pi .

3- entrer alors la commande suivante dans le champs de saisie : M = (1;a)

Utiliser l'aide de Geogebra sur points de vecteurs afin d'expliquer ce que réalise cette commande .

4- Placer le point M' symétrique du point M par rapport a l'axe des abscisses, le triangle IMM', puis afficher l'aire de celui-ci, on pourra faire comme ci-contre . (image2)

5- Dans le repère orthonormé (O,i,j) d cette feuille geogebra, quelles coordonnées doit-on attribuer au point P, si l'on souhaite qu'il soit sur la courbe d’équation y= A(a) où A(a) donne l'aire du triangle IMM' en fonction du réel a ?

Après avoir activé la trace de ce point P, conjecturer la valeur de a, pour laquelle A(a) est maximale .

Parti 2 : démonstration

6- Donner en fonction de a, les coordonnées des points M et M', puis calculer les distances MM' et IH où H est le milieu du segment [MM'] .

7- En déduire, en fonction de a, A(a), l'air, en unités d'aires, du triangle IMM'

8- A l'aide du logiciel XCAS, définir cette fonction, et , a l'aide des outils de l'onglet scolaire, déterminer : la

fonction dérivée de la fonction A

les valeurs pour lesquelles cette dérivée s'annule

9- on admet que, pour tout a€ [0;Pi], A'(a) = -2cos²a+cosa+1. Montrer que le nombre A(a) admet un maximum sur l'intervalle [0;Pi] que l'on déterminera .

[Barbidoux]

Parti 2 : démonstration

6- Donner en fonction de a, les coordonnées des points M et M', puis calculer les distances MM' et IH où H est le milieu du segment [MM'] .

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M{cos(a),sin(a)} et M'{cos(a),-sin(a)}

MM'{0,2*sin(a)} ==> |MM'|=2*sin(a)

H{cos(a),0} I={1,0} ==> HI={1-cos(a),0} ==> |HI|= 1-cos(a)

7- En déduire, en fonction de a, A(a), l'air, en unités d'aires, du triangle IMM'

A(a)=2*sin(a)*(1-cos(a))/2=sin(a)*(1-cos(a))

8- A l'aide du logiciel XCAS, définir cette fonction, et , a l'aide des outils de l'onglet scolaire, déterminer : la fonction dérivée de la fonction A

A'(a)=cos(a)*(1-cos(a))+sin(a)*sin(a)=-cos(a)^2+cos(a)+1-cos(a)^2= -2*cos(a)^2+cos(a)+1

les valeurs pour lesquelles cette dérivée s'annule

elle s'annule pour a=0 et a=-2*π/3

9- on admet que, pour tout a€ [0;Pi], A'(a) = -2cos²a+cosa+1. Montrer que le nombre A(a) admet un maximum sur l'intervalle [0;Pi] que l'on déterminera .

On pose cos(a)=x ==> f(x)=-2*x^2+x+1=0 polynôme du second dégré qui s'annule pour x=1 ==> cos(a)=1 ==> a=0 et x=-1/2 ==> cos(a)=-1/2 ==> a=2*π/3