Exercice - Nombre Complexe

[Domi-59]

Enoncé :

Le plan est rapporté à un répère orthonormal ( O ; vecteur u ; vecteur v ) d'unité graphique 5 cm.

On considère les points A et B, d'affixes respectives : ( V = racine carré )

Za = 1

Zb = 1/V2 x ( 1+i) , Où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument π/2.

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de cos ( π/8)

Question:

1)a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1.

b) déterminer un argument de Zb.

c) Tracer C et construire les points A et B.

d) Soit I le milieu du sergement [AB]. Placer I sur la figure et prouver que Zi = (2+V2)/4 + (V2/4)i

2)a) Calculer la distance OI et prouver que :

OI = (V2+V2)/2

b) Justifier que la droite (OI) est la bissectrice de l'angle AOB. En déduire un argument de Zi.

3) Monter à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur exacte de :

Cos (π/8) est (V2+V2)/2

Merci de votre aide, c'est mon devoir maison pour demain, j'ai réussi les 2 précédents exercices.. mais celui là, j'abandonne !

Alors si vous pouviez m'aider, ce serai super sympa de votre part ! Merci d'avance et bonne journée

[Barbidoux]

On considère les points A et B, d'affixes respectives :

Za = 1

Zb = (1/√2)*(1+i) , Où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument π/2.

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de cos(π/8)

1)a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1.

|Za|=1

|Zb]=√2/√2=1 ==> A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1

b) déterminer un argument de Zb.

Zb= |Zb|*(cos(a)+i*sin(a))=1/√2+i/√2 ==> a= π/4

c) Tracer C et construire les points A et B.

d) Soit I le milieu du sergement [AB]. Placer I sur la figure et prouver que Zi = (2+V2)/4 + (V2/4)i

Zi=(Zb+Za)/2=((1/√2)*(1+i)+1)/2=(√2*(1+i)/2+1)/2=(√2*(1+i)/2+2)/4=(2+√2)/4+i*√2/4

2)a) Calculer la distance OI et prouver que :OI = (V2+V2)/2

OI=|ZI|=√(((2+√2)/4)^2+(√2/4)^2)=(1/4)*√((2+√2)^2+(√2)^2)=(1/4)*√(8+4*√2)=√(2+√2)/2

b) Justifier que la droite (OI) est la bissectrice de l'angle AOB. En déduire un argument de Zi.

Le triangle BOA est isocèle OI est la hauteur issue de O, la médiatrice de AB et la bissectrice de l'angle BAO donc AOI=π/8

3) Monter à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur exacte de : Cos (π/8) est (V2+V2)/2

ZI=|ZI|*(cos(pi/*4)*i*sin(π/4))=(√(2+√2)/4+i*√2/4)

=(√(2+√2)/2)*(√(2+√2)/2+i*√2/(2*√(2+√2)))

=(√(2+√2)/2)*(√(2+√2)/2+i*√2*(√(2-√2)/(2*√(2+√2)*(√(2-√2)))=(√(2+√2)/2)*(√(2+√2)/2+i*√(2-√2)/2)

==> cos(π/4)=√(2+√2)/2

sin(π/4)=√(2-√2)/2

[Domi-59]

Merci beaucoup de votre réponse mais je n'ai pas compris ceci :

1)a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1.

|Za|=1

|Zb]=√/2=1 ==> A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1

[Domi-59]

Vous auriez pas inversé A et B sur le cercle?

[Barbidoux]

Merci beaucoup de votre réponse mais je n'ai pas compris ceci :

1)a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1.

|Za|=1

|Zb]=√2/√2=1 ==> A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1

[Domi-59]

D'accord, merci beaucoup !

[Domi-59]

3) Monter à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur exacte de : Cos (π/8) est (V2+V2)/2

ZI=|ZI|*(cos(pi/*4)*i*sin(π/4))=(√(2+√2)/4+i*√2/4)

=(√(2+√2)/2)*(√(2+√2)/2+i*√2/(2*√(2+√2)))

=(√(2+√2)/2)*(√(2+√2)/2+i*√2*(√(2-√2)/(2*√(2+√2)*(√(2-√2)))=(√(2+√2)/2)*(√(2+√2)/2+i*√(2-√2)/2)

==> cos(π/4)=√(2+√2)/2

sin(π/4)=√(2-√2)/2

Par exemple : i√2(√(2-√2)/(2√(2+√2)(√(2-√2) toute la partie en vert fait bien partie du dénominateur ?

Merci d'avance

Sinon pourriez-vous me préciser, comment faire pour construire le cercle ?

Par exemple: Pour placer B et comment faire un angle de π/4 ?

[Domi-59]

d) Soit I le milieu du sergement [AB]. Placer I sur la figure et prouver que Zi = (2+V2)/4 + (V2/4)i

Zi=(Zb+Za)/2=((1/√2)*(1+i)+1)/2=(√2*(1+i)/2+1)/2=(√2*(1+i)/2+2)/4=(2+√2)/4+i*√2/4

Je dois en conclure = (2+√2)/4 + ( i√2/4)

? merci d'avance

[Barbidoux]

d) Soit I le milieu du sergement [AB]. Placer I sur la figure et prouver que Zi = (2+V2)/4 + (V2/4)i

Zi=(Zb+Za)/2=((1/√2)*(1+i)+1)/2=(√2*(1+i)/2+1)/2=(√2*(1+i)/2(fautede frappe)+2)/4= (√2*(1+i)+2)/4=(2+√2)/4+i*√2/4

Je dois en conclure = (2+√2)/4 + ( i√2/4)

? merci d'avance

[Barbidoux]

Sinon pourriez-vous me préciser, comment faire pour construire le cercle ?

Par exemple: Pour placer B et comment faire un angle de π/4 ?

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Cercle de rayon unité (construction du point B)

Et correction de quelques fautes de frappe

On considère les points A et B, d'affixes respectives :

Za = 1

Zb = (1/√2)*(1+i) , Où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument π/2.

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de cos(π/8)

1)a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1.

|Za|=1

|Zb]=√2/√2=1 ==> A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1

b) déterminer un argument de Zb.

Zb= |Zb|*(cos(a)+i*sin(a))=1/√2+i/√2 ==> a= π/4

c) Tracer C et construire les points A et B.

d) Soit I le milieu du sergement [AB]. Placer I sur la figure et prouver que Zi = (2+V2)/4 + (V2/4)i

Zi=(Zb+Za)/2=((1/√2)*(1+i)+1)/2=(√2*(1+i)/2+1)/2=(√2*(1+i)/2+2)/4=(2+√2)/4+i*√2/4

2)a) Calculer la distance OI et prouver que :OI = (V2+V2)/2

OI=|ZI|=√(((2+√2)/4)^2+(√2/4)^2)=(1/4)*√((2+√2)^2+(√2)^2)=(1/4)*√(8+4*√2)=√(2+√2)/2

b) Justifier que la droite (OI) est la bissectrice de l'angle AOB. En déduire un argument de Zi.

Le triangle BOA est isocèle OI est la hauteur issue de O, la médiatrice de AB et la bissectrice de l'angle BAO donc AOI=π/8

3) Monter à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes que la valeur exacte de : Cos (π/8) est (V2+V2)/2

ZI=|ZI|*(cos(pi/*8)*i*sin(π/8))=(√(2+√2)/4+i*√2/4)

=(√(2+√2)/2)*(√(2+√2)/2+i*√2/(2*√(2+√2)))

=(√(2+√2)/2)*(√(2+√2)/2+i*√2*(√(2-√2)/(2*√(2+√2)*(√(2-√2)))=(√(2+√2)/2)*(√(2+√2)/2+i*√(2-√2)/2)

==> cos(π/8)=√(2+√2)/2

sin(π/8)=√(2-√2)/2