Parcourir Un Carré

[Novaniva]

Parcourir un carré

ABCD est un carré de centre O et de côté 4

Le point M part de A et parcourt le carré dans le sens ABCD

On note x la distance parcourue par le point M et f la fonction qui à x associe la longeur OM.

Enoncer et démontrer le plus de résultat possibles sur la fonction f

j'avais déjà poster le sujet, mais comme je n'est pas mis vraiment le problême juste mes reponses, on m'avais conseiller de mettre le sujets.

[Papy BERNIE]

Bonjour,

Soit I le milieu de [AB] . La mesure de OM diminue de la valeur de OA jusqu'à la valeur de OI car (OI) ppd ((AB) et une ppd est la plus courte distance d'un point à une droite. Puis la mesure de OM augmente de la valeur de OI jusqu'à la valeur de OB qui est la même que celle de OA.

Et on raisonne de la même façon sur [bC] , puis [CD] puis [DA].

Autrement dit f(x) est une fct périodique de période 4.

On a donc d'après Pythagore dans le triangle OIM rectangle en I :

OM²=OI²+IM²

Si M sur [OI] , alors IM=2-x donc :

OM²=2²+(2-x)²=x²-4x+8

OM=V(x²-4x+8)-->V=racine carrée

Si M sur [iB] , alors IM=x-2

OM²=2²+(x-2)²=x²-4x+8

OM=V(x²-4x+8)

Donc f(x)=V(x²-4x+8) sur [0;4]

Il semble que tu sois en 2nde et je ne vois pas bien comment en 2nde on peut démontrer que f(x) décroît sur [0;2] et croît sur [2;4]

puis comme elle est périodique :

f(x) décroît sur [4;6] et croît sur [6;8]

puis : f(x) décroît sur [8;10] et croît sur [10;12]

puis : f(x) décroît sur [12;14] et croît sur [14;16]

Tu peux faire un tableau pour la variation de f(x) sur [0;4]

OA=CA/2

D'après Pythagore dans le triangle ADC : AC²=4²+4²=32

AC=V32=4V2-->V=racine carrée

Donc OA= 2V2

OI=2

Donc sur [0;4] :

x--------->0.....................2...............4

f(x)------>2V5......D........2......C........2V5

D=décroît

C=croît ( tu fais des flèches)

[Barbidoux]

En complément de Papy Bernie.

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ABCD est un carré de centre O et de côté 4

Le point M part de A et parcourt le carré dans le sens ABCD

On note x la distance parcourue par le point M et f la fonction qui à x associe la longeur OM.

Enoncer et démontrer le plus de résultat possibles sur la fonction f

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En déplaçant le point M suivant ABCD on constate que la distance OM est une fonction périodique de période et égale à 4. Dans un premier temps on s'intéresse au point M qui décrit la partie AB. Soi M1 une position particulière de M distante de x de A ==> AM1=x. On se place dans le système d'axes OB,OC dans lequel AO=-2*√2 et l'on évalue les coordonnées de M dans ce système d'axes :

xM1=-2*√2+x Cos(Pi/4)

yM1=x*sin(Pi/4) ==> M1{-2*√2+x*√2/2 , x*√2/2} et |OM1|=√((-2*√2+x*√2/2 )^2+(x*√2/2)^2)=√(x^2-4*x+8) ce qui conduit au graphe de OM

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On s'intéresse maintenant au point M2 qui décrit le segment et les coordonnées de M2

xM2=(x-4)*cos(Pi/4)=(x-4)*√2/2

yM2=2*√2-(x-4)*cos(Pi/4)=2*√2-(x-4)*√2/2

|OM2|=√(2*√2-(x-4)*√2/2)^2+(((x-4)*√2/2)^2)= √((x-4)^2-4*(x-4)^2+8) ce qui donne un graphe identique au précédent sur l'intervalle [4,8]

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On pourrait continuer avec le point M3 puis M4 et plus généralement Mk ce qui permettrait de monter que la graphe de OMk sur l'intervalle [4*k,4*(k+1)] qui décrit la trajectoire d'un point sur le kième coté est celui de la fonction :

|OMk|=√(x-4*k)^2-4*(x-4*k)+8)

Pour k prenant les valeurs {0,1,3,4} autrement dit lorsque le point M part de A et décrit les côtés du carrés le graphe est le suivant :

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La dérivé de f(x,k)= √((x-4*k)^2-4*(x-4*k)+8) à pour expression :

f'(x,k)= (2*(x-4*k)-4)/(2*√(x-4*k)^2-4*(x-4*k)+8)) elle s'annule pour (x-4*k)=2, valeurs qui correspondent à des valeurs identiques minimales de OM obtenues pour x=2 modulo[4] soit x=2,6,10,14 etc.......

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Si tu n'a pas vu la dérivée tu peut remarquer que (x-4*k)^2-4*(x-4*k) est le début de l'identité remarquable ( (x-4*k)-2)^2 ==> f(x,k)= √((x-4*k)-2)^2+4) qui passe par une valeur minimale lorsque ((x-4*k)-2)^2=0 c'est à dire lorsque (x-4*k)=2 ce qui est une autre manière de calculer les minimums de cette fonction, et sur l'intervalle [4*k,4*(k+1)], f(x) décroît lorsque x< 4*k+2 et décroit ensuite ce qui conduit au tableau de variation de la fonction sur l'intervalle [4*k,4*(k+1)]

x...........4*k.......................4*k+2................4*k+4

f(x)......2*√2......decrois.......2.......crois........2*√2.