Fonction D'une Courbe

[Déca]

Bonjours,

J'aurais besoin d'une petite aide. Donc voilà, je bloque à un exercice, enfête je ne comprend pas ce qu'il veulent que je fasse, je pense qu'il faut faire la dérivée mais j'en suis pas sûr.

Voilà mon exercice :

On nous donne ----- > g(x) = x²-1+lnx

1- calculer g(1) (là normalement pas trop de difficulté)

g(1) = 1² - 1 + lnx

= lnx

résultat ---> g(1) = lnx

2-Montrez que "g" est strictement croissant ( et là je bloque )

Moi j'ai fait : u = x² - 1 v = lnx

u' = 2x v' = 1/x

ensuite j'ai utilisé la formule de la dérivée qui est la suivante : u' + v'

J'ai donc trouvé g(x) = 2x + 1/x

Après on me demande de déduire que "g" est strictement positif sur l'intervalle ]1;+infini[ et strictement négative sur l'intervalle ]0;1[,

(là je doit vous avouer que je ne sait pas quoi faire)

[Barbidoux]

Voilà mon exercice :

On nous donne ----- > g(x) = x²-1+lnx

1- calculer g(1) (là normalement pas trop de difficulté)

g(1)=1-1+ln(1)=0

2-Montrez que "g" est strictement croissant ( et là je bloque )

g'(x)=2*x+1/x

g(x) étant définie pour x appartenant à R+ on en déduit que g'(x)>0 pour toute valeur de x appartenant à R+ donc que g(x) est croissante sur son intervalle de définition.

Après on me demande de déduire que "g" est strictement positif sur l'intervalle ]1;+infini[ et strictement négative sur l'intervalle ]0;1[,

Lorsque x->0 alors g(x)=-1-ln(0) -> -∞. Comme g(1)=0 on en déduit que :

x...........0....................1...........................∞

g(x)......(-∞).....crois....(0).......crois..........∞

[Déca]

Un grand merci à toi pour tes réponses mais il y a un truc que j'ai pas compris :

Lorsque x->0 alors g(x)=-1-ln(0) -> -∞. Comme g(1)=0 on ne déduit que :

x...........0....................1...........................∞

g(x)......(-∞).....crois....(0).......crois..........∞

C'est un tableau ?

[Barbidoux]

Oui c'est le tableau de variation de la fonction frx)=x^2-1+ln(x) dont voici le graphe

f(x) est <0 entre ]-∞,0[ et >0 entre ]0, ∞[

[Déca]

ah d'accord c'est le tableau de variation, merci encore, j'avais passer la nuit dernière tout entière à m'arracher les cheveux en cherchant. Demain, j'attaquerais la deuxième partie, en espérant que sa sera plus simple. Merci.

[Déca]

Voilà j'ai fait la deuxième partie, enfin j'ai fait se que j'ai pu, je n'y arrive pas beaucoup car c'est un chapitre qu'on vient tout juste de commencer donc si vous pouviez juste jeter un oeil, et corriger s'il y à des fautes. Merci.

Soit " f " la fonction défini sur l'intervalle ]0;+infini[ par f(x) = x - 1 - lnx/x

1) Déterminer la limite de " f " en + infini :

On admet que lim f(x) lorsque x-> 0 = + infini

lim (x - 1) lorsque x->+infini = + infini ; lim lnx/x lorsque x->+infini = 0 -----> donc lim f(x) lorsque x->+infini = + infini

2)a) Vérifié que pour tout " x " appartenant à l'intervalle ] 0 ; +infini [ , f' (x) = g(x) / x²

Je ne sait pas comment faire

b) Etudier le sens de variation de " f " et dresser son tableau de variation

Dérivée ?

3)a) Montrer que la droite D d'équation y = x - 1 est asymptote à la courbe "C".

Je ne sait pas

b) Etudier la position de "C" par rapport a D

Là il faut calculer la différence mais je ne sait pas quoi prendre.

Je vous remercie en tout cas du temps que vous consacrez pour moi, cela me permettra, je l'espéré d'acquérir rapidement la méthodologie pour faire plus tard ces exercices tout seul.

[Barbidoux]

Voilà j'ai fait la deuxième partie, enfin j'ai fait se que j'ai pu, je n'y arrive pas beaucoup car c'est un chapitre qu'on vient tout juste de commencer donc si vous pouviez juste jeter un oeil, et corriger s'il y à des fautes. Merci.

Soit " f " la fonction défini sur l'intervalle ]0;+infini[ par f(x) = x - 1 - lnx/x

1) Déterminer la limite de " f " en + infini :

On admet que lim f(x) lorsque x-> 0 = + infini

lim (x - 1) lorsque x->+infini = + infini ; lim lnx/x lorsque x->+infini = 0 -----> donc lim f(x) lorsque x->+infini = + infini

donc lorsque x-> ∞ alors f(x) -> ∞

Lorsque x->0 alors lim l(n)x/x -> -∞/0 =-∞ et limf(x)=x-ln(x)/x-1= lim -ln(x)/x= ∞

2)a) Vérifié que pour tout " x " appartenant à l'intervalle ] 0 ; +infini [ , f' (x) = g(x) / x²

f'(x)=1+ln(x)/x^2-1/x^2 =(x^2+ln(x)-1)/x^2=g(x)/x^2

b) Etudier le sens de variation de " f " et dresser son tableau de variation

le signe de f(x) est le même que celui de g(x) d'où :

x.......0..........................1................................

f'(x)...-∞........(-)............(0)..........(+)...............∞

f(x)....∞.....decrois.......Min..........crois..........∞

avec min =f(1)=0

3)a) Montrer que la droite D d'équation y = x - 1 est asymptote à la courbe "C".

Lorsque x->∞ alors lim l(n)x/x -> 0 et limf(x)=x-1 -> ∞ ce qui montre que la droite y=x-1 est asymptote au graphe de f(x)

b) Etudier la position de "C" par rapport a D

f(x)-(x-1)=- l(n)x/x -> 0^+ lorsque x-> ∞ et le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures.

[Déca]

Je reviens à la question : 1) Déterminer la limite de " f " en + infini :

Dans le sujet on me dit : On admet que lim f(x) = +infini lorsque x -> 0 ; je vous dit sa car vous avez barrer, ce n'était pas moi qui l'avais écrit, c'était dans le sujet.

J'ai aussi oublié de précisez qu'ils me disent qu'on pourra utiliser le résultat lim de lnx/x = 0 lorsque x -> +infini

Du coup sa donne :

lim (x - 1) lorsque x -> +infini = +infini

lim -lnx/x lorsque x -> +infini = 0^-

Donc : +infini - 0^- = +infini

Donc lim f(x) lorsque x -> +infni = +infini

Et donc pour la suite rien ne change je crois.

[Déca]

Voilà j'ai fait la deuxième partie, enfin j'ai fait se que j'ai pu, je n'y arrive pas beaucoup car c'est un chapitre qu'on vient tout juste de commencer donc si vous pouviez juste jeter un oeil, et corriger s'il y à des fautes. Merci. Soit " f " la fonction défini sur l'intervalle ]0;+infini[ par f(x) = x - 1 - lnx/x

1) Déterminer la limite de " f " en + infini : On admet que lim f(x) lorsque x-&gt; 0 = + infini lim (x - 1) lorsque x-&gt;+infini = + infini ; lim lnx/x lorsque x-&gt;+infini = 0 -----&gt; donc lim f(x) lorsque x-&gt;+infini = + infini donc lorsque x-&gt; ∞ alors f(x) -&gt; ∞ Lorsque x-&gt;0 alors lim l(n)x/x -&gt; -∞/0 =-∞ et limf(x)=x-ln(x)/x-1= lim -ln(x)/x= ∞

2)a) Vérifié que pour tout " x " appartenant à l'intervalle ] 0 ; +infini [ , f' (x) = g(x) / x² f'(x)=1+ln(x)/x^2-1/x^2 =(x^2+ln(x)-1)/x^2=g(x)/x^2 b) Etudier le sens de variation de " f " et dresser son tableau de variation le signe de f(x) est le même que celui de g(x) d'où : x.......0..........................1................................ f'(x)...-∞........(-)............(0)..........(+)...............∞ f(x)....∞.....decrois.......Min..........crois..........∞ avec min =f(1)=0

3)a) Montrer que la droite D d'équation y = x - 1 est asymptote à la courbe "C". Lorsque x-&gt;∞ alors lim l(n)x/x -&gt; 0 et limf(x)=x-1 -&gt; ∞ ce qui montre que la droite y=x-1 est asymptote au graphe de f(x) b) Etudier la position de "C" par rapport a D f(x)-(x-1)=- l(n)x/x -&gt; 0^+ lorsque x-&gt; ∞ et le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures.

[Barbidoux]

2)a) Vérifié que pour tout " x " appartenant à l'intervalle ] 0 ; +infini [ , f' (x) = g(x) / x²

f'(x)=1+ln(x)/x^2-1/x^2 =(x^2+ln(x)-1)/x^2=g(x)/x^2

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Il n'y a aucun raisonnement mais des relations de dérivation à connaître (dérivée d'un produit ou d'un rapport de deux fonctions)

f(x) = x - 1 - lnx/x ==> f'(x)=1+ dérivée de (-ln(x)/x)=1+ln(x)/x^2-1/x^2

[Déca]

ah d'accord, du coup j'ai fini mon exercice grâce à toi. Je te remercie énormément en tout cas de l'aide que tu m'a apporter, c'est très gentille de ta part.

Bonne journée = )