Dm Maths Sur Les Nombres Dérivé, Cosinus Dans Un Triangle

[zoulfia]

On considère le demi cercle C de diamètre[AB],AB=6 cm. H est un point du segment [AB] distinct de A et de B. On note x la longueur de AH. La perpendiculaire en H à (AB) coupe C en M. K est le pied de la hauteur issue de H dans le triangle MHB.

L'objectif de cet exercice est de déterminer pour quelles position(s) de H sur ]AB[, le segment [HK] a une longueur maximal. On note HK=f(x)

AMB est un triangle. AMB est un angle inscrit dans un demi-cercle.AB est l'hypoténuse. AM l'adjacent. MB le coté opposé. MHA est un triangle rectangle en H. MHK est un triangle rectangle en K.MHB est un triangle rectangle en H. KHB triangle à l’intérieur de MHB.

1) a. En exprimant cos(BAM) de deux manières différentes, prouver que AM= racine de 6x

b. Justifiez le parallélisme de (HK) et de (AM) et deduiser en que f(x)=racine de 6x/6 (6-x)racine de x

Bonjour,

j'ai commencé par calculé le cos(BAM)

cos(BAM)= AM/AB => AM/6 => AM=6*cos(BAM) => AM= 6* racine de 1- sin (BAM)

Voila et je suis coincé a ce stade.

Aidez moi s'il vous plaît.

[pzorba75]

1

MH^2=AH*HB=x*(6-x)=6x-x^2

AM^2=AH^2+MH^2=x^2+6x-x^2=6x =>AM=sqrt(6x)

2

AMB est rectangle en M (AM) perp. à (MB) et (HK) perp. à (MB) donc (AM)et (HK)sont parallèles.

par Thalès HK/HB=AM/AB =>....

Je te laisse terminer, il n'y a pas de difficulté, seulement un peu de calcul.

Au travail.

[zoulfia]

Mais A,H,B sont alignés, on peut quand même utilisé la règle du parallélogramme ? alors que c'est un triangle.

[pzorba75]

On applique Thalès en considérant les droites parallèles (AM) et (HK) et les droites coupant des parallèles.

[zoulfia]

Excusez moi, vous parlez bien du 1 avec MH^2= AH*HB ?

Voici le triangle.

[pzorba75]

C'est une propriété de la hauteur dans un triangle rectangle. Supposée connue à ton niveau.

Si tu ne la connais pas, tu exprimes Cos(HMB)=cos(MAB) et tu retrouves ce résultat les angles HMB et MAB étant égaux (je passe la démonstration niveau quatrième).

[zoulfia]

Merci.