Limites Et Dérivées

[j-l]

Bonjour, j'ai un exercice en maths où je n'arrive pas à avancer:

f est la fonction définie sur R- {-1} par:

f(x)=(2x²+x+7)/x+1

C est sa courbe représentative dans le repère orthonormal (O; vecteur i; vecteur j) (unité graphique:2cm)

1)Calculer les limites de f en +infini et en -infini.

2)Etudier les limites de f en -1. Qu'en déduisez-vous pour C?

3)Etudier les variations de f. Dressez les tableau de variations de f.

4)Démontrez que les point I (-1;-3) est centre de symétrie de C.

Pour le 1) j'ai utiliser la technique de la "factorisation au maximum" et j'ai trouvé pour Lim+infini=+infini et Lim-infini=-infini.

Pour les questions suivantes je bloque totalement si vous pouvez me corriger la 1) et m'aider pour la suite en prenant en compte que je suis en 1ère S.

MERCI BEAUCOUP

[Barbidoux]

f est la fonction définie sur R- {-1} par:

f(x)=(2x²+x+7)/(x+1)

C est sa courbe représentative dans le repère orthonormal (O; vecteur i; vecteur j) (unité graphique:2cm)

1)Calculer les limites de f en +infini et en -infini.

Lorsque x-> ∞ alors x+7 << 2*x^2 et x>> 1 d'où lim (2x²+x+7)/(x+1) = lim 2x²/x+=lim 2x -> ∞

Lorsque x-> -∞ alors x+7 << 2*x^2 et x>> 1 d'où lim (2x²+x+7)/(x+1) = lim 2x²/x+=lim 2x -> -∞

2)Etudier les limites de f en -1. Qu'en déduisez-vous pour C?

Lorsque x->-1+ alors lim f(x)=10/0+ -> ∞

Lorsque x->-1- alors lim f(x)=10/0- -> -∞ et le graphe de f(x) admet une asymptote verticale d'équation x=-1

3)Etudier les variations de f. Dressez les tableau de variations de f.

f'(x)=(4 x + 1)/(x + 1) - (2 x^2 + x + 7)/(x + 1)^2=(2 (x^2 + 2 x - 3))/(x + 1)^2

Le polynôme x^2 + 2 x - 3 admet deux racines x=-3 et x=1 est du signe du coeffiient de x^2 à l'extérieur de ses racines

x.............................-3........................-1........................1............................

f'(x)..........(+)..........(0)..........(-)............||........(-)............(0).........(+)..............

f(x)........crois........Max......decrois......||....décrois......Min......crois..............

4)Démontrez que les point I (-1;-3) est centre de symétrie de C.

f(x)=(2x²+x+7)/(x+1)=(2x²+4*x-3x+2+5)/(x+1)=(2x²+4*x+2-3x+5)/(x+1)=(2*(x+1)^2-3x-3+8)/(x+1)=2(x+1)-3+8/(x+1)

f(x)+3=2(x+1)-3+8/(x+1)

si l'on pose x=X-1 et Y=f(x)+3 alors Y=2*X-8/X est une fonction impaire symétrique par rapport à son origine ayant pour coordonnées {-1,-3}

[j-l]

Merci beaucoup Barbidoux.

Mais je ne comprend pas trop comment as-tu fais la 4)? Tu pourrais m'explique d'où vient le 4*x? et ensuite les étapes je ne comprend pas très bien.

Merci de me répondre.

[Barbidoux]

4)Démontrez que les point I (-1;-3) est centre de symétrie de C.

Pour démonter que le point I (-1;-3) est centre de symétrie de C il faut mettre f(x) sous la forme de :

f(x)=f(x+1)-3 il faut donc faire apparaître des facteurs (x+1) dans (2*x^2+x+7)

f(x)=(2x²+x+7)/(x+1)

2*x^2 est le début du développement de 2*(x+1)^2=2*x^2+4*x+2

f(x)=(2x²+x+7)/(x+1)

=(2x²+4*x-3x+2+5)/(x+1)

=(2x²+4*x+2-3x+5)/(x+1)

=(2*(x+1)^2-3x-3+8)/(x+1)

=(2*(x+1)^2-3(x+1)+8)/(x+1)

=2(x+1)-3+8/(x+1)

f(x)+3=2(x+1)-3+8/(x+1)

si l'on pose x=X-1 et Y=f(x)+3 alors Y=2*X-8/X est une fonction impaire symétrique par rapport à son origine ayant pour coordonnées {-1,-3}

[j-l]

Je ne comprend pas trop.Pourquoi f(x)=f(x+1)-3? Y a-t-il une autre méthode peut-être plus simple?