Probleme

[ramz503]

Bonsoir,

J'ai un énorme problème à résoudre qui allie a la fois des complexes, des suites et de la géométrie plane .

Voici l'énoncé :

Premiere partie :

On considère les trois nombres complexes , et définis par :w = e^(i 2Pi/5) , α = ω + ω^4 et B= w^2 + w^3

a) Démontrez que 1+w+w²+w^3+w^4=0

b) Prouvez que α +B=-1 et α *B=-1

c) Justifiez que α et B sont les solutions de l'équation du second degré X²+X-1=0 (1)

d)Exprimer α en fonction de cos(2pi/5)

e)Résolvez l'équation (1) et déduisez-en la valeur exacte de cos2pi/5

Deuxieme partie :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O,vectU,vectV). On désigne par A0, A1, A2, A3, A4 les points d'affixes respectives 1,w,w²,w^3,w^4. H est le point d'intersection de l'axe réel et de la droite (A1,A4).

a) Verifier que A0A1A2A3A4 est un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1. Alors la aucune idée de démarche :s

b)Prouver que VectOH=cos(2pi/5)vectU

c) C est le cercle de centre "gamma" d'affixe -1/2 passant par le point B d'affixe i. Il coupe l'axe réel en 2 points M et N(on note M celui de l'abscisse positive). Démontrez que vectOM=alpha*vectU, vectON=Béta-vectU et que H est le milieu de [OM].

Troisieme partie :

a) Justifier que K,O et I sont alignés .

b) On considère le repère orthonormale (O,VectOI, VectOJ). Indiquer les coordonnées des points I,J,K et B et donner une équation de la droite (KC) Voici ce que j'ai trouver I(1.0) J(0.1) K(-1.0) B(1/2.2/3)

c) On note alpha l'abscisse de C. Utilise l'égalité BC=1 pour prouver que alpha = (Rac3 -1+ Rac(6Rac3 -4))/4 .

d) Calculez de 2 façons le produit scalaire VetcBA.VectBC et déduisez-en ques cosABC=1/2-alpha.

d) Calculer la longueur du coté du pentagone.

Désolé , mais je n'ai réussi à faire que la premiere partie en entier. Il me reste cependant, les 2 dernieres parties.

J'abuse un peu de votre temps mais j'ai vraiment besoin d'explications :s

Merci d'avance pour celui qui s'efforcera de m'aider

[ramz503]

Merci pour votre aide qui m'a était très "precieuse"

[pzorba75]

Une piste, astucieuse, pour la première démonstration

1

w=e^(i*2pi/5)

w^5=e^(i*2pi/5*5)=e^(i*2*pi)=1

donc w^5-1=0

or w^5-1=(w-1)(w^4+w^3+w^2+w+1)

donc

1+w+w^2+w^3+w^4=0 car w n'est pas égal à 1.

[ramz503]

Merci pour ton aide mais depuis le temps que j'ai posté ce message je suis déjà arrivé à la troisieme partie qui me pose probleme.

Merci quand meme et bonne année