maths01 Posté(e) le 27 décembre 2011 Signaler Posté(e) le 27 décembre 2011 Bonjour, J'ai un exercice de maths auquel j'ai commencer une partie mais j'ai du mal à continuer, pourriez vous m'aider. Merci d'avance. Une entreprise fabrique une produit en quantité x, exprimée en milliers de tonnes. le cout total de fabrication est donné pour x E[0,5] par Ct(x)= x^2/4+9/2 ln(x+1) les couts sont exprimés en centaine de milliers d'euros. A) étude d'une fonction auxiliaire f. on considère la fonction f définie sur [0,5]par: f(x)=x^2/2+9x/x+1 - 9ln(x+1) 1) calculer f'(x) et vérifier que l'on peut écrire: f'(x)= x(x-2) (x+4)/(x+1)^2 2) établir le tableau des variations de f sur [0;5] 3) en déduire que f s'annule sur ]0;5] pour une valeur unique a. 4) déterminer un encadrement a 10^-3 près, de a (on précisera la méthode utilisée) 5) déduire des résultats précédents le signe f sur [0;5]. B) étude d'un cout moyen Cm La fonction cout moyen Cm est définie sur ]0;5] par Cm(x)= Ct(x)/x=x/4+9/2 ln(x+1)/x 1)calculer Cm'(x) et vérifier que l'on peut écrire Cm'(x)=f(x)/2x^2 ou f est la fonction auxiliaire de la question A 2) étudier le sens de variation de Cm sur ]0;5] 3)Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un cout moyen minimal, exprimé en euros par tonne ? Quel est ce cout?
maths01 Posté(e) le 27 décembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 27 décembre 2011 j'ai fais le A) 1) mais je suis pas sur pour la fin. f(x) = (x²/2) + (9x/x+1 )- 9ln(x+1) f'(x) = x + 9/(x+1)² - 9/(x+1) f'(x) = (x.(x+1)² + 9 - 9.(x+1)) / (x+1)² f'(x) = (x3 + 2x² + x + 9 - 9x - 9) / (x+1)² f'(x) = (x3 + 2x² - 8x) / (x+1)² or x(x-2)(x+4) = (x² - 2x).(x+4) = x3 + 4x² - 2x² - 8x = x3 + 2x² - 8x donc f'(x) = x(x-2)(x+4) / (x+1)² 2) x 0 2 5 f'(x) - 0 5 f(x) décroissant croissant 2) x 0 2 5 f'(x) - 0 + f(x) decroissant croissant
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 27 décembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 décembre 2011 Une entreprise fabrique une produit en quantité x, exprimée en milliers de tonnes. le cout total de fabrication est donné pour x E[0,5] par Ct(x)= x^2/4+9/2 ln(x+1) les couts sont exprimés en centaine de milliers d'euros. A) étude d'une fonction auxiliaire f. on considère la fonction f définie sur [0,5]par: f(x)=x^2/2+9x/(x+1) - 9ln(x+1) 1) calculer f'(x) et vérifier que l'on peut écrire: f'(x)= x(x-2) (x+4)/(x+1)^2 f'(x)=x - 9 x/(x+1)^2 =(x (x + 1)^2 - 9 x)/(x+1)^2=(x^3+2*x^2-8*x)/(x+1)^2=x*(x^2+2*x-8)/(x+1)^2 Le polynôme x^2+2*x-8 admet deux racines qui sont x=-4 et x=2 ==> f(x)=x*(x+4)*(x-2)/(x+1)^2 2) établir le tableau des variations de f sur [0;5] x......................0.........................2.................... (x+4)*(x-2)...................(-)..........(0).......(+)...... x......................(0).......(+).....................(+)....... f'(x).................(0)........(-).........(0)........(+)........ f(x)..............decrois.....Min....crois.......Max...decrois.....Min....crois...... 3) en déduire que f s'annule sur ]0;5] pour une valeur unique a. f(0)=0, f(2)=-1.888 la fonction f(x) étant décroissante sur l'intervalle [0,2] son graphe ne coupe l'axe des abscisses. f(5)=3.874. La fonction f(x) étant croissante sur l'intervalle [2,5] son graphe coupe l'axe des abscisse en un seul point situé entre 2 et 5 4) déterminer un encadrement a 10^-3 près, de a (on précisera la méthode utilisée) On détermine la racine de f(x) par dichotomie 5) déduire des résultats précédents le signe f sur [0;5]. x..............0...........................3.699.......................... f(x)..........(0).........(-)...............(0)............(+)............ B) étude d'un cout moyen Cm La fonction cout moyen Cm est définie sur ]0;5] par Cm(x)= Ct(x)/x=x/4+9/2 ln(x+1)/x 1)calculer Cm'(x) et vérifier que l'on peut écrire Cm'(x)=f(x)/2x^2 ou f est la fonction auxiliaire de la question A Cm'(x)=1/4+9/(2*x*(x+1))-9*(ln(x+1)/(2*x^2)=(1/(2*x^2))*(x^2/2+9*x/(x+1)-9*ln(x+1))=f(x)/(2*x^2) 2) étudier le sens de variation de Cm sur ]0;5] x....................0...........................3.699.......................... Cm'(x)..........(0).........(-)...............(0)............(+)............ Cm.......................decrois............Min.......crois 3)Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un cout moyen minimal, exprimé en euros par tonne ? Pour 3699 tonnes produites Quel est ce cout? Cm(3.699)=2.80717*10^5 €=280 717 €
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