Logarithme

[maths01]

Bonjour,

Pourriez vous m'aider pour ce problème auquel je n'y arrive pas.

Merci d'avance,

problème 2:

1. soit g la fonction définie sur ]0;+∞ [ par: g(x)= ln(x+1)-ln(x).

a. Montrer que pour tout x>0 g(x)=ln (1+ 1)

x )

b. Étudier le signe de g (x).

c. Déterminer les limites de g en 0 et en +∞ .

d. démontrer que la fonction G, définie sur ]0;+∞ [ par G(x)= ( x+1) ln (x+1)- x ln (x), est une primitive de g sur l'intervalle ]0;+∞ [.

2. Soit f la fonction définie sur ]0;+∞ [ par : f(x) = x + 2 + ln (x+1) - ln(x+), et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. On ne demande pas de tracer C. En utilisant les résultat du 1 , justifier les résultats suivants:

a. L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C.

b. La droite D d'équation y= x + 2 est asymptote à C en +∞.

c. La courbe C est au dessus de la droite D.

[Barbidoux]

1. soit g la fonction définie sur ]0;+∞ [ par: g(x)= ln(x+1)-ln(x).

a. Montrer que pour tout x>0 g(x)=ln (1+1/x)

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g(x)= ln(x+1)-ln(x)=ln((1+x)/x)=ln(1+1/x)

b. Étudier le signe de g (x).

x >0 ==> 1+1/x >1 ==> g(x)= ln(1+1/x) >0

c. Déterminer les limites de g en 0 et en +∞ .

Lorsque x->0+ alors g(x)=ln(1+1/0) -> ∞

Lorsque x->∞ ==> 1/x->0 et g(x) -> ln(1)=0

d. démontrer que la fonction G, définie sur ]0;+∞ [ par G(x)= (x+1) ln (x+1)- x ln (x), est une primitive de g sur l'intervalle ]0;+∞ [.

G'(x)=ln(x+1)+(x+1)/(x+1)-ln(x)-x/x=ln(x+1)-ln(x)=g(x) ==> G(x) est une primitive de g(x)

2. Soit f la fonction définie sur ]0;+∞ [ par : f(x) = x + 2 + ln (x+1) - ln(x), et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. On ne demande pas de tracer C. En utilisant les résultat du 1 , justifier les résultats suivants:

a. L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C.

f(x) = x + 2 + ln (x+1) - ln(x)=x+2+ln(1+1/x)

Lorsque x->0 alors 1/x ->∞ et f(x) -> ∞ ce qui démontre que l'axe des ordonnées est asymptote au graphe de f(x)

b. La droite D d'équation y= x + 2 est asymptote à C en +∞.

Lorsque x->0 alors 1/x ->0 et ln(1+1/x)->0 et lim f(x) = lim x+2 ->∞ ce qui démontre que la droite d'équation y=x+2 est asymptote au graphe de f(x).

c. La courbe C est au dessus de la droite D.

Comme f(x)-(x+2)=ln(1+1/x)->0+ ce qui montre que le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures et le graphe de f(x) est au dessus de celui de y.

[maths01]

Merci beaucoup pour votre aide précieuse. =)