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[ramz503]

Bonjour,

Pouvez vous m'aidez à résoudre cet exercice

Merci d'avance

Enoncé :

Pour tout couple (z ; z') de nombres complexes, on pose P(z ; z') = z*(z'barre) + (z barre)* z'.

1. b. Prouvez que pour tout couple (z ; z'), P(z ; z') est un nombre réel.

2. On pose z = x +iy , z' = x' + iy' ou x, y, x', y' sont des réels.

a. Calculez P(z ; z') en fonction de x, y, x', y'.

b. Précisez l'ensemble delta des points M d'affixe z tels que P(z ; 1 + i) = 2 racine(2). Tracez delta.

3. On pose z = re^(i*oméga) et z' = r'e^(i*oméga') où r, r', oméga, oméga' sont réels tels que r > 0 et r' > 0.

a. Calculez P(z ; z') en fonction de r, r', oméga, oméga'.

b. Exprimez P(z ; z) en fonction de r.

c. Précisez l'ensemble R des points M d'affixe z tels que P(z ;z) = 2. Tracez R.

d. Précisez la position relative de delta et R.

Resultat :

Pour la 1/b , j'avais pensé à poser z = x +iy , z' = x' + iy' avec x, y, x', y' des réels. A la fin j'obtient pour P(z ; z' )= 2(xx'+yy'). Mais le problème c'est que je n'avais pas fais attention à la question suivante et donc il y a suremennt une autre technique.

Pour la 2:a , j'ai réussi à la faire.

Par contre , je bloque pour la 2/b

Pour la 3/a , je pense qu'il faut que l'on passe aux coordonées polaires.

Enfin pour le reste je bloque de nouveau.

Merci pour celui qui m'eclaircira.

[pzorba75]

Pour le 1-b en utilisant la notation exponentielle z=rho*e^{i*theta} et z'=rho'*e^{i*theta'} ilvient

P(z,z')=rho*rho'[e^{i(theta-theta')+e^{i(theta'-theta)} et avec la formule d'Euler P(z,z')=rho*rho'*2cos(theta-theta') qui est un réel.

Pour le 2-b en supposant exact le résultat P(z,z')=xx'+yy', et en remplaçant x'=1 et y'=1

P(z,1+i)=x*1+y*1=2*sqrt(2) soit y=-x+2*sqrt(2) Delta est une droite

Pour le 3 revoir 1-b

P(z,z)=r*r*e^{i(theta-theta)=r^2*e^0=r^2

d'où r^2=2 c'est un cercle x^2+y^2=2 de centre O et de rayon sqrt(2).

A toi de mettre tout cela en bonne forme en rédigeant avec les justifications habituelles.

Au travail.