Exercice Exponentielle (Aide)

[rédouanne]

bonjour

j'ai un dm de math a faire mais je n'y arrive pas pouvez vous m'aidez svp;

Voici l'exercice:

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x / (e^x -x). On note © sa courbe representative dans le plan rapporté au repère orthogonal ( O;i;j), l'unité graphique est de 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonnées;

1)a) Calculer les limites de la fonction f en +oo et en - oo.

1)b) Interpreter graphiquement les resultat precedents.

2)a Calculer f ' (x) , f ' designant la fonction dérivée de f.

2)b) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.

3)a) Determiner une équation de la tangente ( T) à la courbe C au point d'adbscisse 0.

3)b) Tracer la droite (T), les asymptote et la courbe ©

Merci

[pzorba75]

1 a

lim(x->+infy)f(x)=lim(x->+infy)[1/(e^x/x-1)] or lim(x->+infy)e^x/x=+\infy donc lim(x->+infy)[1/(e^x/x-1)]=1/infy)=0

lim(x->-infy)f(x)=lim(x->-infy)[1/(e^x/x-1)] or lim(x->-infy)e^x/x=0 donc lim(x->+infy)[1/(0-1)]=-1

1 b

L'axe des abscisses est asymptote horizontale à l'infini, la droite y=-1 est asymptote horizontale à - l'infin.

2 a & b

f'(x)=(1*(e^x-x)-x*(e^x-1))/(e^x-x)^2=(e^x*(1-x))/(e^x-x)^2

f' est du signe de 1-x, soit

-f'(x)>0 pour x<1 f est croissante de ]-infy;+1[

-f'(x)<0 pour x>1 f est décroissante de ]+1;+infy[

3

y=f'(0)*(x-0)+f(0)

f'(0)=1*(1-0)/(1-0)^2=1

f(0)=0/(1-0)=0

L'équation de la tangente en 0 est y=x

4

Voir la pièce jointe, tracée avec GeoGebra 4

A toi de vérifier tout cela en rédigeant de façon détaillée.

Au travail