Problèmes

[Nova]

Bonjour j'ai eu des difficultés à trouver la solution de ces problèmes . Pourriez vous m'aider ?

http://img20.imageshack.us/img20/5893/problmesmaths.png

Merci d'avance

[Barbidoux]

Deux applications de la relation tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(a)

Dans les deux cas on exprimera tan(a) et tan(b) en fonction de x et des données.

Dans le premier cas on recherchera le minimum de f(x)=tan(a-b)

Dans le premier cas on recherchera le maximum de g(x)=tan(a-b)

[Nova]

^Bonsoir,

^{Tout d'abord merci pour votre réponse. quand vous parliez d'optimiser tan ( a-b) vous vouliez dire ceci ?}

^{Theta= arct tan [ tan (-a-b) ]= arctang [ (-tana -tanb) / (1+tan a tan b) ]}

^{Ensuite comme vous le dites exprimer tan a et tan b en fonction des mesures . Pour ca je suppose qu'on pose une distance '' x'' et l'autre sera egale à -x +3 .}

^{donc une tangente vaudra 5/x et l'autre 2/-x + 3}

^{Ensuite il faut optimiser la fonction arctangente , pour ça c'est juste calculer le zéro de sa dérivée et vérifier si c'est bien un maximum c'est bien ça ?}

^{Merci d'avance}

[Barbidoux]

Premier cas. On pose AP=x ==> tan(b)=5/x et tan(a)=3/(3-x) et l'angle sera maximum lorsque a+b sera minimum

==> f(x)=tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(b)*tan(a)=(3/(3-x)+5/x)/(1-15/(x(3-x))

f(x)=(3*x+5*(3-x))/(x(3-x)-15)=(15-2*x)/(-x^2+3*x-15)

on recherche le minimum de f(x)

f'(x)=(-2 x^2 + 30 x -15)/(x^2 - 3*x - 15)^2

le polynôme x^2 - 3*x - 15 n'a pas de racines réelles

le polynôme -2 x^2 + 30 x -15 a deux racines réelles x=(15-√195)/2 et x=(15+√195)/2 et f(x) passe par un minimum pour x=(15-√195)/2=0.5179 cm

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Deuxième cas. On appelle x la distance entre le bâtiment et les yeux de l'observateur tan(b)=(18+6)/x et tan(a)=18/x et l'angle sera maximum lorsque b-a sera maximum

==> g(x)=tan(b-a)=(tan(b)-tan(a))/(1+tan(b)*tan(a)=(24/x-18/x))/(1+1(24*18)/x^2)

g(x)=(3*x+5*(3-x))/(x(3-x)-15)=6*x(x^2+432)

on recherche le maximum de f(x)

g'(x)=-((6 (x^2 - 432))/(x^2 + 432)^2)

et g(x) passe par un maximum pour x= √342=20.784 m