Exponentielle Dm De Maths

[soldier]

bonjour pouvez vous m'aidez sur cet exercice que je n'ai pas du tout comprit

voila le sujet

exercice 1

on considere l'equation differentielle:

(E):y'+y=e^-x

A/ démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)= xe^-x est une solution de (E)

B/ resoudre l'équation differentielle (E₀): y'+y=0

C/ soit v une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer que la fonction v est solution de (E) si et seulement si v-u est solution de (E₀).

D/ en deduire l'ensemble des solutions de (E)

E/ determinez la fonction f₂ solution de (E) qui prend la valeur 2 en 0

F/ determinez le tableau de variation complet de la fonction g(x)= (x+2)e^-x

Exercice 2

Dans le schéma electrique suivant, on a placé en serie un generateur de courant alternatif, une bobine d'inductance L et le dipole R materialise la résistance totale du circuit. On admet que i(t) l'intensité du courant à l'instant t satisfait la relation: Ri(T)+L(di/dt)(t)=E

(c'est de la physique il suffit d'appliquer la lois des tensions)

1/ donner l'ensemble des solutions de cette equation différentielle en fonction de R,E,L et t. ici les fonctions solutions doivent être sous la forme est t i(t) et pas x f(x)

2. A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur on a donc i(0)=0. en deduire l'unique solution de l'equation differentielle precedente en fonction de R,E,L et t

3/ etudier la fonction i obtenue lorsque t appartient à [0;+infini[

4/ application numérique: on donne E=12v; R=40 ohm et L= 1,2 H

tracer soigneusement dans un repere la courbe associé a la fonction i

(prendre t variant entre 0 et 0,30 secondes et en ordonée de 0 à 0,40 amperes)

[Barbidoux]

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Exercice 1

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on considere l'equation differentielle:

(E):y'+y=exp(-x)

A/ démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)= xe-x est une solution de (E)

u'(x)+u(x)= -x*exp(x)+x*exp(x)+exp(-x)=exp(-x)

ce qui montre que u(x)=x*exp(-x) est solution de (E)

B/ resoudre l'équation differentielle (E0): y'+y=0

(E0) y'+y=0 ==> y'/y=-1 ==> k*exp(-x) est solution de (E0)

C/ soit v une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer que la fonction v est solution de (E) si et seulement si v+u est solution de (E0).

(v-u)'+v-u = v'+v-u-u'=v+v'-exp(-x) et v est solution de (E) si v+u est solution de (E0) car dans ce cas v+v'=exp(-x)

D/ en deduire l'ensemble des solutions de (E)

L'ensemble des solutions de (E) s'écrit fk(x)=k*exp(-x)+x*exp(-x)= exp(-x)*(x+k)

E/ determinez la fonction f2 solution de (E) qui prend la valeur 2 en 0

f2(x)=2 ==> k=2 ==> f2(x)=exp(-x)*(x+2)

F/ determinez le tableau de variation complet de la fonction g(x)= (x+2)e-x

g(x)=exp(-x)*(x+2)

Lorsque x-> ∞ g(x) ->0

lorsque x-> -∞ alors g(x) -> -∞

g'(x)=-exp(-x)*(x+1)

x.............................-1.........................

g'(x)........(+)..........(0)..........(-)............

g(x)........crois.......Max......decrois

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Exercice 2

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1-------

i(t)+(L/R) di/dt=E/R

équation différentielle homogène

i(t)+(L/R) di/dt ==> solution i(t)=k*exp(-L*t/R)

Solution générale de l'équation différentielle

i(t)=k*exp(-L*t/R)+E/R

2-------

t=0 ==> i=0 ==> k=-1 ==> i(t)=(E/R)*(1-exp(-L*t/R))

3--------

di/dt= (E/R)*exp(-L*t/R) >0 ==> fonction croissante sur [0, ∞[

4--------

i(t)=0.3*(1-exp(0.03*t))