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ramz503 · le 25 novembre 2011

Bonjour,

on a une fonction f définie sur R par f(x) = ln(1+ e^-x )

1/Déterminer la limite en -oo puis la limite de f en +oo

2/Etudier le sens de variation de f.

3/démontrer que f(x) = -x + ln (1 +e^x)

En déduire que Cf admet en -oo une asymptote.

Dans la deuxième partie

on considère les fonctions u et v telles que

u(t) = ln (1+t) - t

v(t) = ln(1+t) - t + (1/2)t²

1) Etudier les variations de u et v. En déduire que, pour tout réel positif : t- (1/2) t² < ln (1+t) <t

2) Soit n un entier naturel (n>1)

On considère le nombre Sn= f(1) + f(2) +...+ f(n)

a) Démontrer que (1-e^-n) /(e - 1) - (1/2)(1-e^-2n)/(e² - 1) < Sn < (1 - e^-n)/ (e^-1 )

b) On admet que la suite (Sn) a une limite réelle L

Montrer que | L - 1/ (e-1) | < 1/( 2 (e² -1))

J'ai réussi à faire pour l'instant les questions :

A/1/2/3/4

Le problème commence a ce poser a partir de la question B :

pour la dérivé de u je trouve u'= -x/1+x

pour la dérivé de v je trouve v'=x²/1+x

Après c'est le blocage total.

Merci d'avance pour celui qui m'aidera

ramz503 · le 25 novembre 2011

Personne ne peut donc m'aidez????

pzorba75 · le 26 novembre 2011

Premiers secours :

Le problème commence à se poser à partir de la question B :

pour la dérivée de u je trouve u'= -x/1+x

pour la dérivée de v je trouve v'=x²/1+x

Faux!

u'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t) u'(t) >0 de ]-1;0[ et u'(t)<0 de [0;+infy[ donc u croit de ]-1;0[ et décroit de [0;+infy[ Or u(0)=0 donc u(t)<=0

donc ln(1+t)-t<=0 => ln(1+t)<=t

v'(t)=1/(1+t)-1+t=t^2/(1+t) v't()>=0 sur ]-1;+\infty[ donc v' croit sur ]-1;+\infty[ v(0)=0 donc v(t)>=0 si t>0

donc ln(1+t)-t+t^2/>=0 -t+t^2/2>=-ln(1+t) soit t-t^2/2<=ln(1+t)

d'où t-t^2/2<=ln(1+t)<=t

Pour continuer, tu repars de l'inéquation démontrée ci-dessus,

f(x) = ln(1+ e^(-x ))

e^(-x)-1/2*e^(-2x)<=f(x)<=e^(-x)

tu écris la "somme" des inéquations

**<=f(1)**, puis

**<=f(2)** jusqu'à

**<=f(n)<**

tu additionnes en supprimant tout ce qui est inutile, bien regarder, et tu pourras conclure.

Au travail.

ramz503 · le 26 novembre 2011

Ok merci j'ai réussi a le faire grace a vos conseils. Pourriez vous m'aidez a finir mon exercice pour les 2 derniere questions.

pzorba75 · le 26 novembre 2011

Regardes ce document.

/applications/core/interface/file/attachment.php?id=9911">Exo-121-p107-Etude-Fonction-difference-et-suite.pdf

Exo-121-p107-Etude-Fonction-difference-et-suite.pdf

ramz503 · le 26 novembre 2011

Merci bcp je vais d'abord essayer de comprendre avant.

PS : Au passage vous n'auriez pas le 122 p 107

pzorba75 · le 26 novembre 2011

Pas encore, peut-être un de ces jours.

ramz503 · le 26 novembre 2011

Ok , je vais donc le faire et si j ai besoin d'aide je posterai un message

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