Exercice Fonction

[beubeu]

Bonjour , je succite votre aide parce que je n'arrive pas à résoudre mon exercice de math

k étant un réel strictement positif donné , on considère la famille de fonction fk définie sur R par fk(x) = x - k(x+1)(e^-x) . On note Ck la courbe représentative de fk .

1. D'après les courbes obtenues à l'aide d'une calculatrice graphique pour quelques valeurs de k , formuler des conjectures :

a) Sur les limites en - infini et en + infini ainsi que l'existence d'une droite assymptote en + infini

b) Sur l'existence d'un point commun à toutes les courbes de la famille

c) Sur l'existence d'un minimun pour chaque fonction de la famille

2)

a) Montrer qu'il existe un point commun à toutes les courbes de la famille

b) Etudier la position relative de Ck et C(k+1)

3)

a) Déterminer la limite de fk en -infini et en +infini

b) Montrer que pour tout k (k>0), Ck admet une droite assymptote DELTA dont on donnera une équation

c) Préciser les positions relatives de Ck et DELTA

4)

a) Calculer fk ' (x) et montrer que le signe de fk ' (x) est celui de exp(x)+kx

b) On définit sur R la fonction gk par : gk(x) = e^x + kx . Montrer que l'équation gk(x)=0 admet sur R une solution alpha k unique

c) En deduire que fk admet un minimun unique en alpha k et vérifier que f(alplha k ) = alpha k + 1 + (1/alpha k )

[Barbidoux]

Rapidement pour débuter....

-------------

k étant un réel strictement positif donné , on considère la famille de fonction fk définie sur R par fk(x) = x - k(x+1)(e^-x) . On note Ck la courbe représentative de fk .

1. D'après les courbes obtenues à l'aide d'une calculatrice graphique pour quelques valeurs de k , formuler des conjectures :

a) Sur les limites en - infini et en + infini ainsi que l'existence d'une droite assymptote en + infini

x-> +∞ f_k(x) -> x -> ∞ la droite y=x est asypmtote au graphe de f_k(x)

x-> -∞ alors f_k(x) -> ∞

b) Sur l'existence d'un point commun à toutes les courbes de la famille

Point commun {-1,-1}

c) Sur l'existence d'un minimun pour chaque fonction de la famille

fk(x) varie de +∞ à + ∞ en passant par {-1,-1} donc passe par une valeur minimale

2)

a) Montrer qu'il existe un point commun à toutes les courbes de la famille

lorsque x=-1 f_k(x) indépendant de k et vaut -1 donc {-1,-1} est le point commun des graphes de fk(x)

b) Etudier la position relative de Ck et C(k+1)

f_k+1-f_k=(x+1)/exp(x) ==>>0 pour x>-1 donc le graphe de C(k+1) est au dessus de celui de Ck pour x>-1

3)a) Déterminer la limite de fk en -infini et en +infini

f_k(x)=x-k*(1+x)/exp(x)

Lorsque x-> ∞ alors f_k(x)≈x -> ∞ et la droite y=x est asymptote au graphe de fk(x)

Lorsque x-> - ∞ alors f_k(x)≈x-kx*exp(-x)≈x*(1-k*exp(x))≈-k*x*exp(-x) -> ∞

b) Montrer que pour tout k (k>0), Ck admet une droite assymptote DELTA dont on donnera une équation

Lorsque x-> ∞ alors f_k(x)≈x -> ∞ et la droite y=x est asymptote au graphe de fk(x)

[beubeu]

Merci , cordialement Benoit .

[Barbidoux]

4)

a) Calculer fk ' (x) et montrer que le signe de fk ' (x) est celui de exp(x)+kx

f'(x)=1-exp(-x) *k + exp(-x)*k*(1 + x)=1+k*x* exp(-x)

b) On définit sur R la fonction gk par : gk(x) = e^x + kx . Montrer que l'équation gk(x)=0 admet sur R une solution alpha k unique

g_k(x)=1+k*x* exp(-x)=0 ==> x=a_k=-1/(k*exp(x))

c) En deduire que fk admet un minimun unique en alpha k

x.........................a_k..........................

f'(x)........(-).........(0).........(+)...........

f(x).....decrois.....Min.......crois.......

donc un seul minimum en ak

et vérifier que f(a k ) = ak + 1 + (1/ak )

f_k(x)= x - k*(x + 1)*exp(-x)=x-k*x*exp(x-)-k*exp(-x)

f_k(x)=x+1-(1+k*x*exp(x-))-k*exp(-x)

f_k(a_k)=a_k+1-(1+k*x*exp(x-))-k*exp(-x)= a_k+1-k*exp(-x)=a_k+1+1/a_k

[beubeu]

Bonsoir , je ne comprend pas comment vous avez fait pour le 4) c a la question : "vérifier que f(alplha k ) = alpha k + 1 + (1/alpha k )" je n'arrive pas à le refaire

[Barbidoux]

f_k(x)= x - k*(x + 1)*exp(-x)=x-k*x*exp(x-)-k*exp(-x)

f_k(x)=x+1-(1+k*x*exp(x-))-k*exp(-x)

a_k est solution de gk(x)=1+k*x*exp(-x)=0 ==> 1+k*a_k*exp(-a_k)=0 ==> -1/a_k*=k*exp(-a_k)=0

f_k(a_k)=a_k+1-(1+k*a_k*exp(-a_k ))-k*exp(-ak)= a_k+1-k*exp(-x)=a_k+1+1/a_k