Méthode D'euler

[Tibo54]

Bonjour,je suis bloqué sur un exercice.J'aimerai de l'aide car je ne comprends vraiment pas.Merci d'avance.

On admet qu'il existe une unique fonction f qui vérifie simultanément les conditions;

(1):pour tout réel X,f'(X)=4-(f(X))² et (2):f(0)=0

PARTIE A:Afin d'obtenir une approximation de la courbe de f dans un repère (O;i;j),on utilise la méthode d'Euler avec un pas de 0,2.On obtient ainsi une suite de points Mn de coordonnées Xn et Yn.On a donc X0=0,Y0=0 et pour tout n de N,X(n+1)=Xn+0,2 .(Avec X0 représentant "X indice 0,etc...)

1)Montrer que,pour tout n de N,Yn+1=-0,2 Y²n + Yn +0,8

2)Pour tout réel x,p(x)=-0,2 X²+X+0,8 . Montrer que si x appartient à [0;2] alors p(x) appartient à [0;2]

3)Montrer que , pour tout n de N, 0=<Yn=<2 (avec =< représentant "0 inférieur ou égal à Yn",etc)

4)Etudier le sens de variation de la suite (Yn).On en déduira que (Yn) est convergente et qu'elle admet une limite qu'on donnera.

[Barbidoux]

On admet qu'il existe une unique fonction f qui vérifie simultanément les conditions;

(1):pour tout réel X,f'(X)=4-(f(X))² et (2):f(0)=0

PARTIE A:Afin d'obtenir une approximation de la courbe de f dans un repère (O;i;j),on utilise la méthode d'Euler avec un pas de 0,2.On obtient ainsi une suite de points Mn de coordonnées Xn et Yn.On a donc X0=0,Y0=0 et pour tout n de N,X(n+1)=Xn+0,2 .(Avec X0 représentant "X indice 0,etc...)

1)Montrer que,pour tout n de N,Yn+1=-0,2 Y²n + Yn +0,8

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par définition f'(x)=(f(x+h)-f(x))/h lorsque h->0

Par approximation f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h si h petit

Dans ce cas (f(x+h)-f(x))/h=4-f(x)^2 si h petit ==> f(x+h)=-h*f(x)^2+f(x)+4*h et avec h=0,2 ==> f(x+h)=-0.2*f(x)^2+f(x)+0.8

en posant f(x+h)=Y_n+1 et f(x)=Y_n ==> Y_n+1=-0.2*Y_n^2+Yn+0.8

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2)Pour tout réel x,p(x)=-0,2 X²+X+0,8 . Montrer que si x appartient à [0;2] alors p(x) appartient à [0;2]

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p'(x)=0.8*x+1 >0 sur [0,2] la fonction P(x) est donc croissante sur cet intervalle, comme P(0)=0.8 et P(2)=2 on peut en déduire que 0 ≤P(x)≤2

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3)Montrer que , pour tout n de N, 0=<Yn=<2 (avec =< représentant "0 inférieur ou égal à Yn",etc)

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Des résultats de la question précédent on déduit que 0 ≤Y_n≤2

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4)Etudier le sens de variation de la suite (Yn).On en déduira que (Yn) est convergente et qu'elle admet une limite qu'on donnera.

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Y_n+1=-0.2*Y_n^2+Y_n+0.8 ==> Y_n+1-Y_n=-0.2*(Y_n^2-4)=-0,2*(Y_n-4)*(Y_n+4)

comme 0 ≤Yn≤2 ==> Y_n+1-Y_n>0 ce qui montre que la série Y_n est croissante. Elle est bornée supérieurement 0≤Y_n≤2 donc elle converge et sa limite supérieure est égale à 2.

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