Nombre Complexe

[chocali]

Bonjour, j'aimerais que l'on m'aide pour certaine de mes questions :

Exercice 1, Partie A : Soit f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par f(x) = e^x. On appelle C_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; i ; j).

1. Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe C_f au point M d'abscisse a coupe l'axe des abscisses au point P d'abscisse a - 1.

T_a : y = f ' (a)(x-a) + f(a) = e^a(x-a) + e^a = xe^a-ae^a+e^a

T : y(a-1) = (a-1)e^a-ae^a+e^a = ae^a-e^a-ae^a+e^a = 0

2. Soit N le projeté orthogonal du point M sur l'axe des abscisses. Démontrer que NP = -i

N (a ; 0) ; P((a-1) ; 0)

NP (a-1-a ; 0) => NP (-1 ; 0)

i (1 ; 0) => -i (-1 ; 0)

-i = NP

Partie B : Soit g une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que g' (x) est différent de 0 pour tout nombre réel x. On appelle C_g la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal (O ; i ; j). Soit a un nombre réel. On considère le point M de la courbe C_g d'abscisse a et le point N projeté orthogonal du point M sur l'axe des abscisses. Soit P le point d'intersection de la tangente T_a à la courbe C_g au point M avec l'axe des abscisses .

1. Démontrer que le point P a pour coordonnées ( (a - (g(a) / g' (a))) ; 0).

T : y = g' (a)(x-a) + g(a)

=> g'(a)(x-a) + g(a) = 0

=> g'(a)(x-a) = -g(a)

=> (x-a) = -g(a) / g'(a)

=> x = a - (g(a) / g'(a))

2. Existe-t-il une fonction g vérifiant g(0) = 2 et NP = i ?

Exercice 2 : On considère le nombre complexe Z défini par : Z = (z - 2 + i)/(iz + 1) où z = x + yi, x et y sont deux nombres réels.

1. Ecrire Zsous forme algébrique, en déduire la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y.

z = (x + yi - 2 + i) / ( (x + yi)i +1) = ( (x -2) + (y + 1)i) / ( (1 - y) + xi) = ( (x -2) + (y + 1)i)*( (1 - y) - xi)

= ( (x - 2)*(1 - y) - (x - 2)*xi + (1 - y)i*(1 - y) - (y + 1)i*xi ) / ( (1 - y)² + xi²) = [ (x - 2)*(1 - y) / ( (1 - y)² - x²) ] - [ (x - 2)*xi + (1 - y)i*(1 - y) - (y + 1)i*xi ) / ( (1 - y)² - x²) ]

Re(z) = (x - 2)*(1 - y) / ( (1 - y)² - x²)

Im(z) = (x - 2)*xi + (1 - y)i*(1 - y) - (y + 1)i*xi ) / ( (1 - y)² - x²)

2. A quelle condition portant sur x et y, Z est-il un nombre réel ?

Il faut que Im(z) = 0

3. A quelle condition portant sur x et y, Z est-il un nombre imaginaire pur ?

Il faut que Re(z) = 0

4. Le plan est muni du repère orthonormal direct (O ; u ; v).

a) Représenter l'ensemble E₁ des points M d'affixe z tel que Z soit réel.

b) Représenter l'ensemble E₂ des points M d'affixe z tel que A soit imaginaire pur.

Voila j'aimerais que l'on m'aide et que l'on me corrige si possible merci.

[Barbidoux]

Exercice 1, Partie A : Soit f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par f(x) = e^x. On appelle Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; i ; j).

1. Soit a un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe Cf au point M d'abscisse a coupe l'axe des abscisses au point P d'abscisse a - 1.

Ta : y = f ' (a)(x-a) + f(a) = ea(x-a) + ea = xea-aea+ea

T : y(a-1) = (a-1)ea-aea+ea = aea-ea-aea+ea = 0

2. Soit N le projeté orthogonal du point M sur l'axe des abscisses. Démontrer que NP = -i

N (a*i ; 0) ; P((a-1)*i ; 0)

NP ((a-1-a)*i ; 0) => NP (-i ; 0)

Partie B : Soit g une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que g' (x) est différent de 0 pour tout nombre réel x. On appelle Cg la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal (O ; i ; j). Soit a un nombre réel. On considère le point M de la courbe Cg d'abscisse a et le point N projeté orthogonal du point M sur l'axe des abscisses. Soit P le point d'intersection de la tangente Ta à la courbe Cg au point M avec l'axe des abscisses .

1. Démontrer que le point P a pour coordonnées ( (a - (g(a) / g' (a))) ; 0).

T : y = g' (a)(x-a) + g(a)

=> g'(a)(x-a) + g(a) = 0

=> g'(a)(x-a) = -g(a)

=> (x-a) = -g(a) / g'(a)

=> x = a - (g(a) / g'(a))

N (a*i ; 0) ; P((a-g(a)/g’(a))*i; 0) ==> NP (-g(a)/g’(a)*i ; 0)

2. Existe-t-il une fonction g vérifiant g(0) = 2 et NP = i ?

Si cette fonction existe elle est telle que g(0) = 2 ==> g’(0)=-2 ==> NP(i,0}. Oui la fonction f(x) =2*exp(-x) répond à la question posée.

Exercice 2 : On considère le nombre complexe Z défini par : Z = (z - 2 + i)/(iz + 1) où z = x + yi, x et y sont deux nombres réels.

1. Ecrire Zsous forme algébrique, en déduire la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y.

z =(2*y+2*x-2+i*(-y^2-x^2+2*x+1))/(x^2+(1+y)^2)

Re(z) = (2*y+2*x-2) /(x^2+(1+y)^2)

Im(z) = (-y^2-x^2+2*x+1)/(x^2+(1+y)^2)

2. A quelle condition portant sur x et y, Z est-il un nombre réel ?

Il faut que Im(z) = 0 ==>y^2+x^2-2*x-1=0 ==> y^2+(x-1)^2=2

3. A quelle condition portant sur x et y, Z est-il un nombre imaginaire pur ?

Il faut que Re(z) = 0 ==>2*y+2*x-2=0 ==> y=-x+1

4. Le plan est muni du repère orthonormal direct (O ; u ; v).

a) Représenter l'ensemble E1 des points M d'affixe z tel que Z soit réel.

Graphe de la droite d’équation y=-x+1

b) Représenter l'ensemble E2 des points M d'affixe z tel que A soit imaginaire pur.

Cercle de centre {+1,0} et de rayon √2