Exercice Complexe

[rédouanne]

Bonjour

j'ai un exercice sur les complexe a faire mais je n'y arrive pas pouvez vous m'aidez svp.

Voici l'exercice:

Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct ( O; vecteur u, vecteur v) (unité graphique: 3 cm)

On considère l'application f de C- { -2-i} dans C définie par:

f(z) = ( z+1-2i) / (z+2+i)

1) representer dans P le point A d'affixe ( -3+i).

Calculer f(-3+i) et representer dans P le point A' d'affixe f(-3+i).

2) Resoudre dans C l'équation f(z) = 2i.

3) En posant z= x+iy , (x appartient a R et y appartient a R), déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z).

4) Déterminer et representer dans P l'ensemble C1 des point M d'affixe z tels que f(z) soit réel.

Déterminer et representer dans P l'ensemble C2 des point M d'affixe z tels que f(z) soit imaginaire pur.

Merci

[Barbidoux]

1-------------------

f(z)=(z + 1 - 2 i)/(z + 2 + i)

f(-3+i)=(-2-i)/(-1+2*i)=(2+i)/(1-2*i)=(2+i)*(1+2*i)/(((1-2*i)*(1+2*i))=5*i/(1-4*i^2)=i

2-------------------

f(z)=(z + 1 - 2 i)/(z + 2 + i)=2*i ==> z + 1 - 2 i=2*i*(z + 2 + i)=2*i*z+4*i+2*i^2

==> z + 1 - 2 i=2*i*z+4*i-2 ==> z*(1-2*i)=6*i-3 ==> z=(6*i-3)/(1-2*i)=-3

3------------------------

f(z+i*y)=((1+x)+i*(y-2))/((2+x)+i*(y+1))=((2+x)-i*(y+1))*((1+x)+i*(y-2))/(((2+x)+i*(y+1))*((2+x)+i*(y+1)))

=((x^2+3*x+y^2-y)+i*(y-3*x-5))/((2+x)^2+(1+y)^2)

Re[f(z+i*y)]= =(x^2+3*x+y^2-y)/((2+x)^2+(1+y)^2)

Im[f(z+i*y)]= =(y-3*x-5)/((2+x)^2+(1+y)^2)

4------------------------

f(z) est réel lorsquei y-3*x-5=0 ==> Le lieu de M est la droite d'équation y=3*x+5

f(z) est imaginaire pur lorsque x^2+3*x+y^2-y=0 ==> x^2+3*x+9/4 -9/4+y^2-y+1/4-1/4=0 ==> (x+3/2)^2+(y-1/2)^2=10/4

Le lieu de M est le cercle de centre O{-3/2,1/2} et de rayon √10/2