Etude De Fonction ( Pour Barbidoux )

[anlegao]

Bonjour Barbidoux on m'a dit que vous pouviez m'aider , ce que vous avez deja fait par le passé, je suis a ma deuxieme terminale et le prof a donné cet exercice de 1ere, si vous pouviez m'aider, merci d'avance.

on considère la courbe d'équation:

y = x(ax+b) / 2(x- c)²

ou, a, b et c sont des réels, dans un repère orthonormal ( O: i: j) ( unité 1cm)

1) déterminer les reéls a, b, et c pour que la courbe ait deux asymptotes d'équations respectives x = 1 et y = 3/2 et que la tangente en 0 ait pour équation y = -2x

2) soit la fonction f définie sur ] - l'infini; 1[ U ]1; + linfini[

f(x) = 3x² -4x / 2(x-1)²

a) étudier la fonction f, limites, dérivée, variations

b) determiner une équation de la tangente en 0 , ainsi qu'au point d'abscisse 3/2 à la courbe C representant f dans ( O; i: j)

c) étudier la position relative de la courbe C par rapprot a son asymptote horizontale

d) représenter C avec ses asymptotes et les tangentes determinées en b)

3) soit Dm la droite d'équation y = 4x + m, avec m réel

déterminer graphiquement, suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation f(x) = 4x + m

[pzorba75]

Je me permets de prendre le relais de Barbidoux, pour te permettre de démarrer cet exercice en cherchant un petit peu :

y = x(ax+b) / 2(x- c)²

ou, a, b et c sont des réels, dans un repère orthonormal ( O: i: j) ( unité 1cm)

1) déterminer les réels a, b, et c pour que la courbe ait deux asymptotes d'équations respectives x = 1 et y = 3/2 et que la tangente en 0 ait pour équation y = -2x

Si x=1 est asymptote cela signifie qu'il y a une fraction dont dénominateur s'annule pour x=1 soit 1-c=0 ou c=1

SI y=3/2 est asymptote, c'est qu'à l'infini (en +infy ou -infy) f tend vers 3/2 , donc que la rapport des termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur est égal à 3/2 soit [ax^2]/[2x^2]=3/2 ou a=3

Pour la tangente en 0, sa pente est égale à la dérivée de f'(0) soit f'(0)=2 ce qui te donnera b. Il y a un peu de calcul que je t'invite à faire toute seule.

Barbidoux reviendra probablement t'aider un peu plus tard.

[anlegao]

Bonjour Zorba , je ne vous connaisais pas , désolé .

Merci je vais essayé.

Si j'ai bien compris je calcule la dérivé de f , et je ferais f'(0) = 2 en remplacant dans f' le a et le c , en gardant que b tel quel ?

[anlegao]

???

[anlegao]

Ya quelqu'un pour repondre a ma question ? Merci.

[anlegao]

Aide pour la suite pliz.

1/Déterminer les réels a,b et c pour que la courbe ait deux asymptotes d'équations respectives x=1 et y=3/2 et que la tangente en O ait pour équation y=-2x.

y= x(ax+b)/ 2(x-c)^2 donc il faut c=1 pour que la droite x=1 soit asymptote car ds ce cas :

f(x) =x(ax+b)/ 2(x-1)^2 tend vers l'infini qd x tend vers 1.

On a donc f(x)=(ax²+bx)/2(x²-2x+1)

f(x)=(ax²+bx)/(2x²-4x+2)

..=[x²(a+b/x)/[x²(2-4/x+2/x²)--->on simplifie par x² avec x diffde 0 au voisinage de l'infini.

Donc f(x)=(a+b/x)/(2-4/x+2/x²)

Qd x tend vers l'infini, b/x , -4/x et 2/x² tendent vers 0 donc :

f(x) tend vers a/2.

Si l'on veut que y=3/2 soit asymptote, il faut a=3.

Donc f(x)=(3x²+bx)/(2x²-4x+2)

Pour une tgte d'équa y=-2x en x=0, il ns faut calculer d'abord f '(x).

f(x) est de la forme u/v avec :

u=3x²+bx donc u'=6x+b

v=2x²-4x+2 et v'=4x-4

Tu appliques la formule (u/v) ' =............../v²

A la fin :

f '(x)= [-2x²(6+b)+12x+2b]/(2x²-4x+2)²-->sauf erreurs de calcul!!

f '(0)=b/4 qui est le coeff dir de y=-2x donc 2b/4=-2 donc b=-4

Donc :

y=x(3x-4)/[2(x-1)²] ou y=(3x²-4x)/[2(x-1)²]

[anlegao]

Bien que le dm soit rendu, je desire quand meme savoir si je m'en suis bien sorti...