Exercice Sur Les Fonctions : À Corriger Merci ....

[nathtiti]

Bonjour, si quelqu'un pouvez me corriger ....merci....car je ne suis pas certaine que se soit juste !!!!

Exercice 103

1) D'après la variation de la fonction R, on ne peut pas connaitre le sens de variation de (x)=(x / x +1) car cette fonction dépend du sens de variation de x et de

(1/ x +1) et donc pas sous la forme (x / x +1)

2) (x)=(x / x +1)

1-(1/ x +1) = (x / x +1)

1-(1/ x +1) - (x / x +1)=0

1- ((1-x )/(x +1))=0

((x +1-1-x )/(x +1))=0

0/(x +1)=0

3) d'apres le theoreme de variation , soit I un intervalle de R sur lequel une fonction U est définie. Sur I, la fonction U : x --->U(x) et V : x --->U(x)+K

(K est un nombre reel), on les meme variations. Donc la fonction U : x--->x +1 a les meme variation que lafonction de U : x -->x . Donc la fonction U : x--->x +1

est decroissante sur ]- ; 0] et croissant sur [ 0;+ [

D'apres le theoreme de variation, U : x--->x +1 et U : x -->1/(x +1) sont de variations contraires

Or les fonctions U : x --> 1/(x +1) et U : x --> -1/(x +1) sont de variations contraires donc les fonctions U : x --> -1/(x +1) et U : x--->x +1 sont de meme variation.

Donc les fonctions U : x --> -1/(x +1) et U : x --> 1 -((1/(x +1)) sont de meme variation, qui sont décroissantes sur ]- ; 0] et croissant sur [ 0;+ [

4) (h) = 1 -((1/h +1))

(-h) = 1 -((1/-h +1)) = 1 -((1/h +1))

Donc (h) = (-h)

Donc les coordonnées (h; (h)) et (h; (-h)) sont egaux.

5) Comme (h) = (-h), alors les courbes representatives des fonctions (h) = (-h) sont concourrentes. Donc, on en déduit que la courbe est décroissante sur ]- ;0] et croissante sur [0;+ [

6) pour tout x appartient R, x +1>0 donc 1/(x +1)>0 alors 1 -((1/(x +1)) 0

Donc (x) 0

de plus -1<1

1-(1/1)<1

or (1/x )<1

donc 1 -((1/(x +1))<1 donc 0 (x)<1

7) Pour tout nombre reel m de l'intervalle ]0;1[ donc si la proposition est vrai alors (x1) et (x2) appatient ]0;1[ si x2= -x1 alors x2=x1 (car x est strictement positif ou nul , pour tout nombre de x appartient à R)

Donc si x2 = -x1 alors (x2) = (x1)

or si (x1) et (x2) appatient ]0;1[ alors (x2) = (x1) = m

8) 0 est bien le minimum de la fonction sur R car 0 est bien la plus basse solution de l'intervalle des racines [0;1[

1 n'est pas une solution de sur R donc ce n'est pas le maximum de celle-ci.

(merci.........je ne sais pas si j'ai bien démontré!!!!!! )

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Nathtiti,

Tu es en première ou seconde ? Enfin, l'un dans l'autre, tu dois être dans un bon lycée. J'ai corrigé comme si tu étais en seconde. Donc, sans notion de composition de fonctions, de dérivée.

1) Faux mais sans connaître ton cours exact, j'ai peur de répondre au déjà de tes connaissances, donc, je passe.

2) Faux en terme de rédaction car tu n'as pas mis d'équivalence et que tu es partie de la réponse !!!

Correction :

Pour tout x de R, Phi(x) = x²/(x²+1)

=> Phi(x) = (x²+1-1)(x²+1)

=> Phi(x) = (x²+1)(x²+1)-1/(x²+1)

=> Phi(x) = 1-1/(x²+1). CQFD.

3) Euh, je ne connais pas le théorème s'appelant théorème des variations. Donc, si tu n'as pas vu ça en cours, tu oublies. Par contre, si ce sont les variations des fonctions carré et inverse, vu en seconde, dis le précisément !

Sinon, pour x²+1, c'est ok si ce th. existe. Pour la seconde, c'est mal rédigée (par exemple, tu confonds phi et u parfois et tu oublies d'assurer la continuité de la fonction inverse). Cependant, je trouve que tu as fait des efforts dans l'ensemble ! C'est bien .

Pour tout x de R, on définit la fonction u(x) = x²+1. Les variations de u(x) sont données par la fonction carré car les variations de u sont formés par la somme des variations de 1 et de x². Comme 1 ne varie pas, seules les variations de la fonction carré font évoluer u(x). La fonction carré étant décroissante sur R- et croissante sur R+, on a les mêmes variations pour u(x).

De même, les variations de phi(x) sont données par -1/(x²+1). Pour tout x de R, 1+x² => 1. Or, pour tout x => 1, la fonction -1/x est définie, continue et croissante. Donc, les variations de phi(x) sont les mêmes que celles de u(x).

4) Ok sauf pour la conséquence graphique. On peut dire que (h,phi(h)) est le symétrique de (-h,-phi(-h)) par rapport à la droite x=0.

5) Sais tu ce que signifie concourante ? Ca n'a pas de sens pour une même fonction car sur R, les courbes représentatives de phi(x) et phi(-x) sont identiques. En clair, elles sont concourantes en tout point. Par contre, le fait que pour tout x de R, phi(x) = phi(-x), ça signifie que la courbe représentative de phi(x) possède un axe de symétrie, d'axe x=0.

6) Entièrement faux !

Pour tout x de R, +inf > x² => 0

=> +inf > x²+1 => 1

=> 1/(+inf) = 0 < 1/(x²+1) 1/1 Car la fonction est définie, continue et décroissante sur cet intervalle, donc, change le sens de l’inégalité.

=> 0 > -1/(x²+1) => 1 Par multiplication par -1, un nombre strictement négatif qui change le sens de l'inégalité

=> 1 > 1-1/(x²+1) => 1-1 = 0

=> 1 > phi(x) => 0

Donc, l'affirmation est juste.

7) Pas clair.

Quelque soit m appartenant à [0,1[, il existe x1,x2 appartenant à R tel que x1=-x2 vérifiant phi(x1) = phi(x2) = m.

Démo :

En 6), on a montré que x appartenant à R => 0 phi(x) < 1. Donc, par lecture du sens indirect, on a pour tout m dans [0,1[, il existe x1 dans R tel que phi(x1) = m. Or, on a montré en 4) que pour tout x de R, que phi(x) = phi(-x). Donc, pour tout m appartenant à [0,1[, il existe x1,x2 dans R tel que x1=-x2 vérifiant phi(x1)=phi(x2)=m.

8) Pour un fois, c'est pas de te faute :p, c'est l'exo qui est mal posé. Pourquoi parler de majorant, ici. Je pense que ta réponse est tout à fait valable au vu de la question.

Comme tu t'en doutes, c'est trop ça les démos pour le moment, mais ça viendra.

[pzorba75]

Histoire de te mettre sur les bonnes pistes, en rédigeant correctement les expressions mathématiques :

1) D'après la variation de la fonction R???, on ne peut pas connaitre le sens de variation de (x)=x /( x +1) car cette fonction dépend du sens de variation de x et de

(1/ x +1) et donc pas sous la forme (x / x +1) Charabia!!!

2) (x)=x / (x +1)

1-1/( x +1) = x / (x +1)

1-(1/ x +1) - (x / x +1)=0

1- ((1-x )/(x +1))=0

((x +1-1-x )/(x +1))=0

0/(x +1)=0

3) d'après le théorème de variation (qu'il faut énoncer) , soit I un intervalle de R sur lequel une fonction U est définie.

Sur I, la fonction U : x --->U(x) et V : x --->U(x)+K (K est un nombre réel), ont les mêmes variations.

Donc la fonction U : x--->x +1 a les mêmes variations que la fonction de U : x -->x .

Donc la fonction U : x--->x +1 est décroissante sur ]- ; 0] et croissante sur [ 0;+ [

D'après le theorème de variation, U : x--->x +1 et U : x -->1/(x +1) sont de variations contraires

Or les fonctions U : x --> 1/(x +1) et U : x --> -1/(x +1) sont de variations contraires donc les fonctions U : x --> -1/(x +1) et U : x--->x +1 sont de même variation.

Donc les fonctions U : x --> -1/(x +1) et U : x --> 1 -((1/(x +1)) sont de même variation, qui sont décroissantes sur ]- ; 0] et croissant sur [ 0;+ [

4) (h) = 1 -1/(h +1)

(-h) = 1 -1/((-h) +1) = 1 -1/(h +1)

Donc (h) = (-h)

C'est une fonction paire, donc la courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Donc les coordonnées (h; (h)) et (-h; (-h)) ne sont pas égales,seules les ordonnées sont égales.

Reprend la suite pour rédiger correctement les formules.

Au travail.

[nathtiti]

Merci....je me mets au travail.....je suis en 1ère!!!

[Boltzmann_Solver]

Merci....je me mets au travail.....je suis en 1ère!!!

[nathtiti]

Merci....je me mets au travail.....je suis en 1ère!!!

[nathtiti]

En fait........je viens de comprendre que ce sont les symboles que j'avais utilisé qui m'ont induit en erreur et donc je ne comprenais pas les corrections de Zorba....maintenant j'y vois plus claire!!!!!!!!!!!!!! pouffffffffffffffffff!!! Escusez-moi!!!! je suis fatiguée!!!!!

[Boltzmann_Solver]

Ton exo est fortement fondé sur la rédaction. D'ailleurs, ça prépare bien à la spé maths de terminale (est ce une classe qui se destine à la spé maths parce que je trouve l'exo assez difficile pour une première S.

Vu que tu es en première as tu vu.

* Les dérivées ?

* La dérivée des fonctions composées ?

[nathtiti]

Bonsoir,

En fait, j'ai un super prof de math (1ere s), nous allons commencer le chapitre des dérivées à la rentrée, donc jeudi....2h de maths. Voilà, merci pour tout.... et bonne soirée!!!!

[Boltzmann_Solver]

Tu dois surtout avoir une bonne classe parce que même moi, il m'a fallu 1/2 heure pour faire l'exo (rigoureusement). Autant te dire que vous devez au moins mettre 1h30.

Pour la question un, sans les dérivées, j'imagine que tu dois dire que c'est parce que tu as le produit de deux fonctions qui ne varient pas dans le même sens, à savoir x² et 1/(x²+1).

Bonne soirée.