Fonctions & Géométrie

[filousoleil]

Bonjour ! Je bloque sur un devoir maison à rendre à la rentrée. J'aurais besoin que quelqu'un vérifie mes réponses (car je ne suis pas sûre du tout d'avoir bien traité les exercices) et me donne des pistes pour la suite. Merci d'avance.

Le cube considéré :

Face du dessous : ABCD (de gauche à droite)

Face du dessus : A'B'C'D' (de gauche à droite)

N est un point de A'B', ; M est un point de B'B ; S est un point de A'D'.

Une fourmie alléchée par l'odeur du sucre mais paresseuse se demande quel est le plus court chemin pour atteindre l'objet de sa convoitise.

Problème étudié:

En quel point N de l'arête A'B' la fourmi doit-elle passer pour que le trajet MSN soit le plus court possible ? On supposera que le cube a pour arête 3cm, que S est le milieu de A'D' et que BM = 1cm.

A/Etude d'une fonction

1/On pose x=B'N. A quelle intervalle appartient x ?

2/Quelle est la nature du triangle MB'N ? Exprimer la longueur Mn en fonction de x

3/a/Exprimer la longueur A'N en fonction de x

b/Quelle est la nature du triangle du triangle NA'S ?

c/Exprimer la longueur NS en fonction de x.

4/Exprimer la longueur L(x) du trajet MNS en fonction de x.

5/ En quel point la fourmi doit-elle traverser l'arête A'B' ?

B/Géométriquement

1/Représenter le patron du cube.

2/a/Placer sur ce patron les points A B C D B' A' D' M S.

b/Quel est le plus court chemin de M à S ? Le tracer et placer le point N.

3/Déterminer par le calcul la longueur B'N correspondante. Quel contrôle peut-on effectuer ?

Mes recherches :

A/1/ x appartient à l'intervalle [0;3]

2/ Cube = angle droit = triangle rectange.

Pythagore → NM = x+4

3/a/ A'N = 3-x

b/Triangle rectangle, même raisonnement que le 2.

c/ 3-x

Triangle rectangle → Pythagore.

Là, je ne suis pas sûre du tout du résultat : 1,5 + x + racine carrée de 6-6x.

4/ (x+4) + (1,5+x+ racine carrée de 6-6x)

5/a/ pour x=0 environ 8.

b/N

B/

2/ Je sais où placer les autres points après, voici juste ce que j'ai obtenu pour le patron :

En longueur, les points sont DAA'D'C et CBB'C'C

En largeur ils sont D'ABC' et A'A'B'B

Je ne vois pas comment faire le reste.

[Barbidoux]

Le cube considéré :

Face du dessous : ABCD (de gauche à droite)

Face du dessus : A'B'C'D' (de gauche à droite)

N est un point de A'B', ; M est un point de B'B ; S est un point de A'D'.

Une fourmie alléchée par l'odeur du sucre mais paresseuse se demande quel est le plus court chemin pour atteindre l'objet de sa convoitise.

Problème étudié:

En quel point N de l'arête A'B' la fourmi doit-elle passer pour que le trajet MSN soit le plus court possible ? On supposera que le cube a pour arête 3cm, que S est le milieu de A'D' et que BM = 1cm.

A/Etude d'une fonction

1/On pose x=B'N. A quelle intervalle appartient x ?

x appartient à AB donc à l'intervalle [0,3]

2/Quelle est la nature du triangle MB'N ? ==> Rectangle

Exprimer la longueur MN en fonction de x ==> MN=√(NB'^2+B'M^2)=√(x^2+4)

3/a/Exprimer la longueur A'N en fonction de x ==> A'N=3-x

b/Quelle est la nature du triangle du triangle NA'S ? ==> Rectangle

c/Exprimer la longueur NS en fonction de x. ==>NS=√(A'N^2+A'S^2)=√((3-x)^2+(3/2)^2)

4/Exprimer la longueur L(x) du trajet MNS en fonction de x. ==> L(x)=√(x^2+4)+√((3-x)^2+(3/2)^2)

5/ En quel point la fourmi doit-elle traverser l'arête A'B' ?

En classe de seconde je pense que ce l'on attend c'est la détermination graphique du minimum de L(x) qui a lieu pour x ≈1,7

B/Géométriquement

1/Représenter le patron du cube.

(patron des deux faces A'B'C'D' et A'B'BA)

2/a/Placer sur ce patron les points A B C D B' A' D' M S.

b/Quel est le plus court chemin de M à S ? Le tracer et placer le point N. ==> La ligne droite

3/Déterminer par le calcul la longueur B'N correspondante. Quel contrôle peut-on effectuer ?==> Thales dans M'SM ==> SA/SM'=A'N/M'M ==> 3-x=3*(3/2)/(7/2) ==> 3-x=9/7 ==> x=3-9/7=12/7=1.7142

[filousoleil]

Merci beaucoup, ta réponse m'a énormément aidée. Cependant, je ne comprends pas comment tu as fais le patron, je n'obtiens pas du tout ce résultat !

[Barbidoux]

Merci beaucoup, ta réponse m'a énormément aidée. Cependant, je ne comprends pas comment tu as fais le patron, je n'obtiens pas du tout ce résultat !