Trigonométrie

[ramz503]

Bonsoir,

je l'ai fini sauf la denriere question .. je vous poste l"ennoncé en esperant pouvoir recevoir une aide

Soit ABC un triangle isocele en A inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1

On note H le pied de la hauteur issue de A et alpha la mesure de l'angle en radian HÔC

On suppose que x appartient a ]0; pi/2[

Le but de l'exercice est de determiner la valeur de l'angle alpha pour laquelle l'aire du triangle ABC soit maximale:

1)a. Exprimer BC et AH en fonction de alpha.

b. En déduire, en fonction de alpha, l'aire du triangle ABC.

2/On considere la fonction f definie sur [0; pi/2] par f=sinx(1+cosx)

a/ Calculer la dérivée f' de f et montrer que, pour tout réel appartenant à [0;pi/2], on a : f'(x)=2cos²x+cosx-1

b/Factoriser le polynome 2X²+X-1 et en déduire une factorisation de f'(alpha)

c/Dresser le tableau de variation de f

2/ a/ Démontrer qu'il existe une valeur de alpha pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la nature de ABC

C'est la dernière question qui me pose problème. Le reste j'ai réussi à le faire.

Merci d'avance

[Barbidoux]

Rapidement :

Bonsoir,

je l'ai fini sauf la denriere question .. je vous poste l"ennoncé en esperant pouvoir recevoir une aide

Soit ABC un triangle isocele en A inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1

On note H le pied de la hauteur issue de A et alpha la mesure de l'angle en radian HÔC

On suppose que x appartient a ]0; pi/2[

Le but de l'exercice est de determiner la valeur de l'angle alpha pour laquelle l'aire du triangle ABC soit maximale:

1)a. Exprimer BC et AH en fonction de alpha.

b. En déduire, en fonction de alpha, l'aire du triangle ABC.

2/On considere la fonction f definie sur [0; pi/2] par f=sinx(1+cosx)

a/ Calculer la dérivée f' de f et montrer que, pour tout réel appartenant à [0;pi/2], on a : f'(x)=2cos²x+cosx-1

b/Factoriser le polynome 2X²+X-1 et en déduire une factorisation de f'(alpha)

f(x)=2*(x^2+x/2-1/2)=2*((x+1/4)^2-1/16-1/2)=2*((x+1/4)^2-9/16)=2*(x+1/4+3/4)*(x+1/3-3/4)=2*(x+1)*(x-1/2) polynôme du signe du facteur de x^2 à l'extérieur de ses racines

c/Dresser le tableau de variation de f

2/ a/ Démontrer qu'il existe une valeur de alpha pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la nature de ABC

maximum atteint pour cos (a)=1/2 ==> a= Pi/3 et ABC est équilatéral

C'est la dernière question qui me pose problème. Le reste j'ai réussi à le faire.

Merci d'avance

[ramz503]

Merci pour votre explication ( j'avais bien trouvé tous cela)

Mais ce qui me pose problème c'est que je trouve l'angle alpha = pi/3 mais alpha n'est pas un angle du triangle ABC. Il s'agit de l'angle HOC. Donc la est le problème. Comment déterminer que l'angle BAC vaut pi/3. J'ai essayer avec les théorèmes des angles inscrits mais sans succès

[Barbidoux]

HOC= Pi/3 angle au centre, l'angle HAC qui intercepte le même arc vaut donc Pi/6, le triangle ABC est isocèle en A et AO est la médiatrice de BC donc par symétrie HOB=Pi/3 HAB=Pi/6 ==> BAC=Pi/3 et le triangle ABC qui est isocèle à A et dont l'angle A vaut Pi/3 est équilatéral.

[ramz503]

Merci j'ai enfin terminer mon DM grace a vous