Suites Adjacentes: Air Sous Une Courbe

[mbody94]

bonjour,

je dois fait une activité concernant un chapitre que nous avons pas encore entamé : suites et récurrence.

et je bloque totalement sur cette activité je n'arrive à faire aucune question.

1) Vn= (Un)²

....

voir la pièce jointe pour l'énoncé.

merci d'avance.

[Barbidoux]

1---------------

u_n=(1/n^3)*(1+2^2+3^2+.......+(n-1)^2)

v_n=(1/n^3)*(1+2^2+3^2+.......+(n-1)^2+n^2)

v_n=u_n+1/n

2---------------

u_n=(1/n^3)*(1+2^2+3^2+.......+(n-1)^2)=(1/n^3)*(somme de 1 à n-1 de k^2)=(n-1)*n*(2*n-1)/(6*n^3)=(n-1)*(2*n-1)/(6*n^2)

v_n=(1/n^3)*(1+2^2+3^2+.......+(n-1)^2+n^2)=(1/n^3)*(somme de 1 à n de k^2)=n*(n+1)*(2*n+1)/(6*n^3)=(n+1)*(2*n+1)/(6*n^2)

3---------------

u_n+1=(1/(n+1)^3)*(1+2^2+3^2+.......+(n)^2)=(1/(n+1)^3)*(somme de 1 à n de k^2)=n*(n+1)*(2*n+1)/(6*(n+1)^3)=n*(2*n+1)/(6*(n+1)^2)

u_n+1-u_n= n*(2*n+1)/(6*(n+1)^2)-(n-1)*(2*n-1)/(6*n^2)=(3*n^2+n-1)/(6*(n*(n+1))^2)

le polynôme 3*n^2+n-1 qui admet deux racines x=-0,767 et x=0.434 est du signe du coefficient de x^2 (>0) à l'extérieur des racines. Comme n>1 on peut en déduire que u_n+1-u_n>0 qq soit n>1 et la suite u_n est donc croissante

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v_n+1=(1/(n+1)^3)*(1+2^2+3^2+.......+n^2+(n+1)^2)=(1/(n+1)^3)*(somme de 1 à n+1 de k^2)=(n+1)*(n+2)*(2*n+3)/(6*(n+1)^3)=(n+2)*(2*n+3)/(6*(n+1)^2)

v_n=(1/n^3)*(1+2^2+3^2+.......+n^2)=(1/n^3)*(somme de 1 à n de k^2)=(n+1)*(2*n+1)/(6*n^2)

v_n+1-v_n=(n+2)*(2*n+3)/(6*(n+1)^2)-(n+1)*(2*n+1)/(6*n^2)=(n^2*(n+2)*(2*n+3)-(n+1)^2*(n+1)*(2*n+1))/(6*((n+1)*n)^2)=-(3*n^2+5*n+1)/(6*((n+1)*n)^2)

le polynôme 3*n^2+5*n+1 qui admet deux racines x=-1,43 et x=-0,232 est du signe du coefficient de x^2 (<0) à l'extérieur des racines. Comme n>1 on peut en déduire que v_n+1-v_n<0 qq soit n<1 et la suite un est donc décroissante

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u_n-u_n=1/n ->0 lorsque n->∞. Les suites u_n et v_n sont adjacentes

4------------------

A = limite lorsque n->∞ de u_n= (n-1)*(2*n-1)/(6*n^2) ≈2*n^2/(6*n^2)=1/3

5------------------

La fonction g(x)=√x étant la fonction réciproque de f(x)=x^2 en divisant l'ordonnée en n partie égales on pourrait démontrer que l'aire du domaine limitée par l'axe des ordonnées, la droite y=1 et le graphe de g(x)=√x peut être encadrée par deux séries adjacentes identiques à u_n et v_n et que cette aire est égale à celle comprise entre l'axe des abscisse, la droite d'équation x=1 et le graphe de f(x)=x^2. Cette aire vaut donc 1/3 et celle du domaine limité par les graphe de f(x) et g(x) dans l'intervalle [0,1] vaut aussi 1/3=1-1/3-1/3.

Pour la 5 je ne garanti pas que ce soit la bonne manière de résoudre le problème mais le résultat donné est exact.

[mbody94]

merci barbidoux, pour votre aide!