Exercice Sur Les Limites

[rédouanne]

Bonjour

j'ai un exercice de math a faire mais je n'y arrive pas pouvez vous m'aidez svp.

Voici l'exercice:

1) considère la fonction polynome P définie pour tout x réel par:

P(x) = 2x^3 - 3x² - 1

a) Etudier les variations de P

b) Montrer que l'équation P(x) = 0 admet une racine réelle et une seule , alfa, et que alfa appartient à l'intervalle ]1,6;1,7[.

2) Soit D l'ensemnle des réels strictement supérieurs à -1. On considère la fonction numérique f définie sur D par:

f(x) = ( 1-x)/(1+x^3)

On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan rapporté par un repere orthonormé (on prendra comme unité 4 cm)

a) Etudier les variations de f (on utilisera pour cela les résultats du 1)

b) Ecrire une équation de la droite D tangente à la courbe C au point d'abscisse 0. Etudier la position de la courbe C par rapport a la droite D dans l'intervalle ]-1;1[ .

c) Montrer que la droite C est située au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 1.

Tracer la courbe C, la droite D et la tangente à C au point d'abscisse 1.

Merci

[Barbidoux]

1) considère la fonction polynome P définie pour tout x réel par:

P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1

a) Etudier les variations de P

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P'(x)=6*x^2-6*x=6*x(x-1) du signe du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines

x......................0......................1.............................

P'(x)......(+).....(0).......(-)........(0)............(+)...........

P(x).....crois...Max....decrois..Min......crois...........

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b) Montrer que l'équation P(x) = 0 admet une racine réelle et une seule , alfa, et que alfa appartient à l'intervalle ]1,6;1,7[.

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P(0)=-1 et P(1)=-2 et P(x) est croissante dans l'intervalle [2,∞[ donc le graphe de P(x) coupe l'axe des abscisse en un point unique appartenant à [2,∞[ qui est solution de P(x)=0.

P(1,6)=-0,488 et P(1.7)=0,156 ==> la racine réelle de P(x)=0 appartient à l'intervalle [1.6,1.7]

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2) Soit D l'ensemnle des réels strictement supérieurs à -1. On considère la fonction numérique f définie sur D par:

f(x) = (1-x)/(1+x^3)

On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan rapporté par un repere orthonormé (on prendra comme unité 4 cm)

a) Etudier les variations de f (on utilisera pour cela les résultats du 1)

------------------------

f'(x)=(3 (1 - x)*x^2)/(1 + x^3)^2 - 1/(1 + x^3)=(2*x^3 - 3x^2 - 1)/(1+x^3)^2

x............................a.............................

f'(x)......(-).............(0)..........(+).............

f(x)......decrois.....Min.......crois.............

où a est la racine de P(x)

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b) Ecrire une équation de la droite D tangente à la courbe C au point d'abscisse 0. Etudier la position de la courbe C par rapport a la droite D dans l'intervalle ]-1;1[ .

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Tangente ua point d'abscisse 0

y=f'(0)*x+f(0)= -x+1

f(x)-y=(1-x)/(1+x^3)+x-1=(1-x)*(1/(1+x^3)-1)=(x-1)*x^3/(1+x^3)=(x-1)*x^3/((1+x)*(x^2-x+1)

x....................................(-1)......................(0).....................(+1).....................

(x-1)/(1+x)........(+)..........(0).........(-)...................(-)............(0)..........(+)........

x.......................(-)........................(-)..........(0).....(+)..........................(+)......

f(x)-y.................(-)..........||...........(+)..........(0).....(-)...........(0)..........(+).......

Dans l'intervalle [-1,1] la courbe y=f(x) est au dessous de sa tangente dans l'intervalle ]0,1[

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c) Montrer que la droite courbe C est située au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 1.

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tangente au point d'abscisse 1

y=f'(1)*(x-1)+f)= -(x-1)/2

f(x)-y=(1-x)/(1+x^3)+(x-1)/2=(x-1)*(1/2-1/(1+x^3)=(x-1)*(x^3-1)/(2*(x^3+1)=(x-1)*(x-1)*(x^2+x+1)/(2*(x+1)*(x^2-x+1))

x....................................(-1)......................(0).....................(+1).....................

(x-1)/(1+x)........(+)..........(0).........(-)...................(-)............(0)..........(+)........

(x-1)..................(-)........................(-)..................(-).............(0)..........(+).......

f(x)....................(-)..........||............(+)..................(+)............(0)..........(+).........

et la courbe C est située au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 1 dans l'intervalle ]-1,∞[

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Tracer la courbe C, la droite D et la tangente à C au point d'abscisse 1.

[rédouanne]

merci de votre aide

[rédouanne]

bonjour

je voudraid savoir comme vous avez fait pour tracer le graphique svp car je ne sais pas quelle échelle vous avez pris car dans l'énoncé il dise on prendra 4 cm.