Jupopo Posté(e) le 17 octobre 2011 Signaler Posté(e) le 17 octobre 2011 Bonjour bonjour! J'ai un DM à faire pour la fin de semaine, et j'ai un peu de mal. Je sollicite donc votre aide s'il vous plaît! Alors voici l'énoncé du DM: Activité 1 : La loi de décroissance radioactive. OBJECTIF: traduire la décroissance radioactive et introduire la notion d'équation différentielle. Le nombre de noyaux (ou d'atomes) d'une source radioactive diminue au cours du temps, tout noyau étant instable et susceptible de se désintégrer. S'il est impossible de prévoir la date de désintégration d'un noyau donné, on admet que la probabilité qu'il se désintègre pendant une unité de temps, est la même pour des noyaux identiques et reste inchangée au cours du temps (un noyau ne vieillit donc pas). Cette probabilité de désintégration, que l'on note k, est donc une caractéristique propre du type de noyaux (appelée constante radioactive ; plus k est grand, plus le nucléide est radioactif). On désigne par N0 le nombre initial de noyaux de la source radioactive et par N (t) le nombre de noyaux restant (non désintégrés) à l'instant t. A. Évolution du nombre de noyaux. 1. Exprimer la proportion de noyaux se désintégrant entre les instants t et t + 1 à l'aide de N (t) et de N(t+ 1) et justifier qu'une approximation de N(t+1) est donnée par : N(t+1) ~= (1 – k)N(t). >Alors pour cette question, je comprend pas bien ce qu'il faut faire. Un ami m'a parlé d'utiliser la formule de la MAA, mais j'avoue être un peu perdu... 2. On suppose dans cette question que N0 =10 000 et k = 0,1. a) Dresser le tableau de valeurs de N pour t appartient à [0;20] avec un pas de 1. b) Donner la représentation graphique point par point correspondante. > Bon là c'est bien simple, j'ai juste à faire attention à pas faire d'erreur de calcul. Alors voici les premiers termes: N(1) = N(o)*(1-k) N(1) = 10000*(1-0.1) N(1) = 10000*0.9 N(1) = 9000 De la même façon, je trouve N(2)=8100, N(3)=7290 etc... Ensuite pour la représentation graphique c'est pas dur. B. Relation entre N et N'. On suppose la fonction t --->N(t) dérivable sur IR . 1. Justifier que, pour tout réel t, on a : N(t + 1) ~= N(t) + N'(t). >Idem que pour A. 1., là j'ai pas compris. 2. Déduire des questions A1 et B1 que la loi de décroissance du nombre de noyaux peut être modélisée par : N'(t) = – k N(t). >Là encore c'est pas trop dur: N(t+1) ~= (1 – k)N(t) > N(t+1) ~= N(t) - kN(t) or N(t + 1) ~= N(t) + N'(t) D'où N'(t) ~= - kN(t) Remarque : Cette équation N'= – kN, où l'inconnue N est liée à sa dérivée, est appelée équation différentielle. Merci pour le temps et la patience que vous m'accorderez.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 17 octobre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 octobre 2011 Activité 1 : La loi de décroissance radioactive. OBJECTIF: traduire la décroissance radioactive et introduire la notion d'équation différentielle. Le nombre de noyaux (ou d'atomes) d'une source radioactive diminue au cours du temps, tout noyau étant instable et susceptible de se désintégrer. S'il est impossible de prévoir la date de désintégration d'un noyau donné, on admet que la probabilité qu'il se désintègre pendant une unité de temps, est la même pour des noyaux identiques et reste inchangée au cours du temps (un noyau ne vieillit donc pas). Cette probabilité de désintégration, que l'on note k, est donc une caractéristique propre du type de noyaux (appelée constante radioactive ; plus k est grand, plus le nucléide est radioactif). On désigne par N0 le nombre initial de noyaux de la source radioactive et par N (t) le nombre de noyaux restant (non désintégrés) à l'instant t. A. Évolution du nombre de noyaux. 1. Exprimer la proportion de noyaux se désintégrant entre les instants t et t + 1 à l'aide de N (t) et de N(t+ 1) et justifier qu'une approximation de N(t+1) est donnée par : N(t+1) ~= (1 – k)N(t). k = probabilité que le noyau se désintègre pendant une unité de temps n*N(t)= nombre de noyau se désintégrant pendant une unité de temps N(t+1) = nombre de noyau au temps t+1 N(t+1)=N(t)-k*N(t)= N(t)*(1-k) 2. On suppose dans cette question que N0 =10 000 et k = 0,1. a) Dresser le tableau de valeurs de N pour t appartient à [0;20] avec un pas de 1. Nk=N0*0,9^n N1=9000 N2=8100 etc.... b) Donner la représentation graphique point par point correspondante. B. Relation entre N et N'. On suppose la fonction t --->N(t) dérivable sur IR . 1. Justifier que, pour tout réel t, on a : N(t + 1) ~= N(t) + N'(t). Variation du nombre d'atome pendant le temps dt d(Nt)/dt=N'(t)= (N(t+dt)-N(t))/dt dans le cas où dt vaut une unité de temps N'(t)=N(t+1)-N(t) 2. Déduire des questions A1 et B1 que la loi de décroissance du nombre de noyaux peut être modélisée par : N'(t) = – k N(t). Des relations N(t+1)=N(t)-k*N(t) et N'(t)=N(t+1)-N(t) on déduit que N'(t)=-k*N(t)
Jupopo Posté(e) le 20 octobre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 20 octobre 2011 Merci pour la réponse très utile!
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