tvp Posté(e) le 9 octobre 2011 Signaler Posté(e) le 9 octobre 2011 Le but de ce dm est de calculer pour une équation du second degré admettant 2 racines distinctes x1 et x2 les sommes x1n + x2n pour un entier n quelconque. On considère l'équation x2 - 2x - 1 = 0 Calculs des premières valeurs de la somme. a. Résoudre l'équation proposée puis en notant x1 et x2 les solutions avec x1 < x2, calculez la somme S = x1 + x2. b. On se propose de calculer le nombre A = x15 + x25. i. On note T = x12 + x22. Montrez que x12 = 2x1 + 1 puis que T = 2S + 2. Déduisez-en T. ii. On note U = x13 + x23. En multipliant l'équation initiale par x, montrez que U = 2T + S. Déduisez-en U. iii. On note V = x14 + x24. De la même façon, montrez que V = 2U + T. Déduisez-en U. iv. En procédant de la même manière, montrez que A = 2V + U. Déduisez-en A. 2. Elaboration d'un algorithme de calcul. a. Ecrivez sous Algobox un algorithme permettant le calcul de la somme x1n + x2n pour un entier n > ou égale à 3. Vous collerez sur votre feuille de programme. b. Déduisez-en x120 + x220. 3. Utilisation d'une tableur. On va calculer toutes les sommes x1n + x2n avec n entier compris entre 1 et 50. a. Ouvrir une feuille de calcul, entrez dans la colonne A les valeurs de n ainsi que les deux premières sommes en B2 et B3. b. A l'aide de la partie A, écrivez en B4 la formule qui, recopié vers le bas, permet d'obtenir toutes les valeurs de la somme x1n + x2n. Vous collerez sur votre copie la feuille imprimée. 4. Utilisation d'un logiciel de calcul formel. a. Télécharger le logiciel gratuit Xcas. b. Résolvez l'équation initiale à l'aide de ce logiciel. c. Calculez la somme x1n + x2n pour n = 5 puis n = 20. d. Faites afficher quelques valeurs de cette somme pour n entier compris entre 1 et 40 puis comparez le résultat obtenu avec celui obtenu avec le tableur. Merci d'avance pour votre aide.
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 9 octobre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 9 octobre 2011 On considère l'équation x2 - 2x - 1 = 0 Calculs des premières valeurs de la somme. a. Résoudre l'équation proposée puis en notant x1 et x2 les solutions avec x1 < x2, calculez la somme S = x1 + x2. x^2-2x-1+0 delta=(-2)^2-4*(-1)=8=2^3=(2*sqrt(2))^2 x1=(2-2*sqrt(2))/2=1-sqrt(2) x2=(2+2*sqrt(2))/2=1+sqrt(2) b. On se propose de calculer le nombre A = x15 + x25. i. On note T = x12 + x22. Montrez que x12 = 2x1 + 1 puis que T = 2S + 2. Déduisez-en T. x1^2=(1-sqrt(2))^2=1+2-2*sqrt(2)=2*(1-sqrt(2))+1 =2x1+1 x2^2=(1+sqrt(2))^2=1+2+2*sqrt(2)=2*(1+sqrt(2))+1 =2x2+1 T=x1^2+x2^2=2x1+1+2x2+1=2(x1+x2)+2=2S+2 T=2S+2 ii. On note U = x13 + x23. En multipliant l'équation initiale par x, montrez que U = 2T + S. Déduisez-en U. iii. On note V = x14 + x24. De la même façon, montrez que V = 2U + T. Déduisez-en U. iv. En procédant de la même manière, montrez que A = 2V + U. Déduisez-en A. La suite plus tard, si j'ai du temps. Au travail.
Messages recommandés
Archivé
Ce sujet est désormais archivé et ne peut plus recevoir de nouvelles réponses.