Dm De Terminal S

[chocali]

Bonjour j'aimerais que l'on m'aide à faire mon dm de maths :

Exercice 1 : On considère les deux courbes (C1) et (C2) d'équations respectives y=e^x et y= -x²-1 dans un repère orthogonal du plan . Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe une unique tangente T commune à ces deux courbes.

1. Sur le graphique, tracer aproximativement une telle tangenteà l'aide d'une règle.

Lire graphiquement l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1) et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C2).

l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1) : 1

l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C2) : -1

2. On désigne par a et b deux réels quelconques, par A le point d'abscisse a de la courbe (C1) et par B le point d'abscisse de la courbe (C2).

a) Déterminer une équation de la tangente (TA) à la courbe (C1) au point A.

TA : y = e^a(x - a) + e^a

b) Déterminer une équation de la tangente (TB) à la courbe (C2) au point B.

TB : y = -2b(x - b) + (-b² - 1)

TB : y = -2bx + 2b² - b² - 1

TB : y = -2bx + b² - 1

c) En déduire que les droites (TA) et (TB) sont confondues si et seulement si les réels a et b sont solutions du système(S) :

e^a = -2b

e^a - ae^a = b²-1

d) Montrer que le système (S) est équivalant au système (S') :

e^a = -2b

e^2a + 4ae^a - 4e^a - 4 = 0

3. Le but de cette question est de prouver qu'il existe un unique réel solution de l'équation

(E) : e^2x + 4xe^x - 4e^x - 4 = 0

Pour cela, on considère la fonction f définie sur R par :

f(x) = e^2x + 4xe^x - 4e^x - 4

a) Montrer que pour tout x appartenant à ] -infinie ; 0 [, e^2x -4 < 0 et 4e^x(x-1) < 0.

b) En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution dans l'intervalle ] -infinie ; 0 [.

c) Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ; +infinie [.

d) Démontrer que l'équation (E) admet une solution unique dans l'intervalle [ 0 ; +infinie [.

On note a cette solution. Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de a.

4. On prend pour A le point d'abscisse a. Déterminer un encadrement d'amplitude 10^-1 du réel b pour lequel les droites (TA) et (TB) sont confondues.

Exercice 2 : On considère la fonction fk définie sur l'ensemble R des nombres réels par fk(x) = (x + k)e^-x où k est un nombre réel donné.

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthogonal.

1. Montrer que la fonction fk admet un maximum en x = 1-k.

2. On note Mk le point de la courbe Ck d'abscisse 1-k. Montrer que le point Mk appartient à la courbe T d'équation y = e^-x.

3. Sur le graphique, le repère est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

- la courbe T d'équation y = e^-x

- la courbe Ck d'équation y = (x + k)e^-x pour un certain nombre réel k donné.

a) Identifier les courbes et les nommer.

b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.

[Barbidoux]

Exercice 1 : On considère les deux courbes (C1) et (C2) d'équations respectives y=e^x et y= -x²-1 dans un repère orthogonal du plan . Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe une unique tangente T commune à ces deux courbes.

1. Sur le graphique, tracer aproximativement une telle tangenteà l'aide d'une règle.

Lire graphiquement l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1) et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C2).

l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1) : 1

l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C2) : -1

2. On désigne par a et b deux réels quelconques, par A le point d'abscisse a de la courbe (C1) et par B le point d'abscisse b de la courbe (C2).

a) Déterminer une équation de la tangente (TA) à la courbe (C1) au point A.

TA : y = e^a(x - a) + e^a

b) Déterminer une équation de la tangente (TB) à la courbe (C2) au point B.

TB : y = -2b(x - b) + (-b² - 1)

TB : y = -2bx + 2b² - b² - 1

TB : y = -2bx + b² - 1

c) En déduire que les droites (TA) et (TB) sont confondues si et seulement si les réels a et b sont solutions du système(S) :

e^a = -2b

e^a - ae^a = b²-1

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Si les droites (TA) et (TB) sont confondues elles on même coefficient directeur ==> e^a = -2b et même ordonnée à l'origine ==> e^a (1- a) = b^2-1

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d) Montrer que le système (S) est équivalant au système (S') :

e^a = -2b

e^2a + 4ae^a - 4e^a - 4 = 0

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b=-e^a/2 ==> b^2=e^(2a)/4 ==> e^a (1- a)=e^(2a)/4 -1

==> e^(2a)+ e^a (a-1)-4=0

e^a = -2b

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3. Le but de cette question est de prouver qu'il existe un unique réel solution de l'équation

(E) : e^2x + 4xe^x - 4e^x - 4 = 0

Pour cela, on considère la fonction f définie sur R par :

f(x) = e^2x + 4xe^x - 4e^x - 4

a) Montrer que pour tout x appartenant à ] -infinie ; 0 [, e^2x -4 < 0 et 4e^x(x-1) < 0.

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si x <0 alors exp(2*x) <1 < 4 ==> exp(2*x)-4<0

si x<0 alors (x-1)<0 et 4*exp(x)*(x-1)<0

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b) En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution dans l'intervalle ] -infinie ; 0 [.

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f(x) = e^2x + 4xe^x - 4e^x - 4 <0 pour x appartenant à ]-∞, 0[

lorsque x -> - ∞ alors f(x) ≈ exp(2*x) ->0 conclusion f(x) ne coupe pas l'axe des abscisses pour x appartenant à ]-∞, 0[ et f(x)=0 n'a pas de solution dans cet intervalle

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c) Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ; +infinie [.

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f'(x)=2*exp(2*x)+4*x*exp(x) >0 qq soit x appartenant à [0, ∞[ ==> f(x) croissante sur cet intervalle

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d) Démontrer que l'équation (E) admet une solution unique dans l'intervalle [ 0 ; +infinie [.

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f(0)=-7

f(1)=3.389

f(x) croissante sur l'intervalle [0, ∞[ donc le graphe de f(x) coupe l'axe des x sur l'intervalle [0,1] en un point unique dont l'abscisse est solution de f(x)=0

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On note a cette solution. Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de a.

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Détermination de la valeur par dichotomie

0,845 <a<0,850

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