Exercice Sur Les Vecteurs!

[arole]

Bonjour à tous,

j'ai un DM de maths à faire pour lundi mais je rencontre quelques soucis pour le résoudre, voici l'énoncé:

(Il s'agit de trouver par le calcul vectoriel le fait que les médianes sont concourantes et de préciser la position du point de concours sur chacune de ces médianes.)

Soit ABC un triangle et A',B',C' les milieux respectifs des segments [bC], [CA], [AB].

Soit G le point d'intersection des droites (BB') et (CC'). On désigne par B₁ et C₁ les symétriques du point G par rapport aux points B' et C'.

1°) Montrer que les quadrilatères GBC₁A , GCB₁A et GB₁AC₁ sont des parallélogrammes.

2°) Démontrer chacune des égalités suivantes : (GA, GB, GC, GC₁ et GB₁ sont tous des vecteurs)

GA+GB=GC₁ ; GA+GC=GB₁ ;

GB₁+ GC₁=GA

Et déduire que GA+GB+GC= 0 (vecteur nul)

3) Démontrer que le point G appartient à la droite (AA') et préciser sa position sur le segment [AA'].

4°) a) Montrer que pour tout point M du plan : (MA, MB, MC et MG sont des vecteurs) MA+MB+MC = 3MG

b) Déterminer les points M du plan tels que : MA+MB+MC = 0 (vecteur nul)

En attendant vos explications et vos réponses je chercherai de mon côté. J'espère que quelqu'un pourra m'aider, merci d'avance !

Voici le schéma de l'énoncé :

[pzorba75]

Soit ABC un triangle et A',B',C' les milieux respectifs des segments [bC], [CA], [AB].

Soit G le point d'intersection des droites (BB') et (CC'). On désigne par B₁ et C₁ les symétriques du point G par rapport aux points B' et C'.

1°) Montrer que les quadrilatères GBC₁A , GCB₁A et GB₁AC₁ sont des parallélogrammes.

Dans GBC1A, les diagonales se coupent en leur milieu donc GBC₁A est un parallélogramme, idem pour GCB₁A et GB₁AC₁

2°) Démontrer chacune des égalités suivantes : (GA, GB, GC, GC₁ et GB₁ sont tous des vecteurs)

GBC₁A parallélogramme donc v(GA)=v(BC₁) et v(GB)=v(AC₁) et v(GA)+c(GB)=v(GC₁) somme des deux vecteurs dans un parallélogramme, et par permutation circulaire v(GA)+c(GC)=v(GB₁)

et v(GC₁)=c(CG)=v(B₁A) donc GB₁AC₁ parallélogramme donc v(GA)+c(GB)=v(GC₁)

v(A1G)=v(GA)=v(GB1)+V(GC1)=v(BG)+V(CG) =>v(GA)-v(BG)-V(CG)=v(0)=>v(GA)+v(GB)+V(GC)=v(0)

3) Démontrer que le point G appartient à la droite (AA') et préciser sa position sur le segment [AA'].

4°) a) Montrer que pour tout point M du plan : (MA, MB, MC et MG sont des vecteurs) MA+MB+MC = 3MG

de v(GA)+v(GB)+v(GC)=v(0) en introduisant M on obtient :

v(GM)+v(MA)+v(GM)+v(MB)+v(GM)+v(MC)=v(0)

3v(GM)+v(MA)+v(MB)+v(MC)=v(0) =>v(MA)+v(MB)+v(MC)=3v(MG)

b) Déterminer les points M du plan tels que : MA+MB+MC = 0 (vecteur nul)

3|MG|=0 les points M sont confondus avec le point G M est le centre de gravité du triangle ABC

AU travail pour rédiger tout cela correctement en rappelant les théorèmes utilisés.

[arole]

Merci beaucoup pour ton aide Zorba !!!