Etude D'une Fonction Rationnelle

[beubeu]

Bonjour , je bloque sur cette exercice , j'aurai besoin de votre aide svp , ayant un niveau mauvais en math !

On considère la fonction f définie sur l'intervalle I = ]-1; + infini[ par f(x)= (2x+1)/(x^3+1)

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j)

1. a) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b) En donner une interprétation graphique.

2. a) En utilisant les résultats de la partie 1, étudier les variations de f sur I.

b) Montrer que f(alpha) = 2/(3(alpha)²) et en déduire que 1,7 < f(alpha)< 1,9 .

c) Dresser le tableau de variation de f sur I.

3) a) Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 0.

b) Etudier la position relative de Cf et T sur I.

Merci de votre aide !

[beubeu]

1) a) Lim f(x) x-> -1 = - infini

Lim f(x) x-> + infini = + infini

2) Cf admet donc une assymptote verticale d'équation x = -1 atteint en - infini

Cf admet donc une assymptote horizontale d'équation y= 0 atteint en + infini

Ensuite a partir du 2) a je bloque totalement

[pzorba75]

f(x)= (2x+1)/(x^3+1)

1. a) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

x-> -1 f->-1/0 soit -infy

x->+infy f-> x/x^3 équiv 1/x^2 f->0

b) En donner une interprétation graphique.

x=-1 est asymptote veticale et l'ae des abscisses est asymptote horizontale en +infy.

2. a) En utilisant les résultats de la partie 1, étudier les variations de f sur I.

f'(x)=(2*(x^3+1)-3x^2*(2x+1))/(x^3+1)^2=(2x^3+2-6x^3-3x^2))/(x^3+1)^2=(-4x^3-3x^2+2)/(x^3+1)^2

L'étude du signe de f' n'est pas dans l'énoncé; en TS, tu ne peux pas répondre sans étude préalable de f'.

b) Montrer que f(alpha) = 2/(3(alpha)²) et en déduire que 1,7 < f(alpha)< 1,9 .

c) Dresser le tableau de variation de f sur I.

3) a) Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 0.

L'équation de la tangente en 0 est y=f'(0)*x+f(0)=2x+1

b) Etudier la position relative de Cf et T sur I.

f(x)-(2x-1)=(2x+1)/(x^3+1)-2x-1=(2x+1-(2x+1)(x^3+1))/(x^3+1)=(2x+1-2x^4-2x-x^3-1))/(x^3+1)=(-2x^4-x^3)/(x^3+1)=-x^3(2x+1)/(x^3+1)

Avec un tableau de signes, il vient C_f sous tangente si -1<x<-1/2 , C_f au dessus pour x>-1/2

Au travail pour rédiger tout cela en justifiant tes résultats.

[beubeu]

Merci , par contre pour la partie 2) b b) Montrer que f(alpha) = 2/(3(alpha)²) , Comment je fais pour montrer ça ? Faut t'il utiliser le f'(x)=(-4x^3-3x^2+2)/(x^3+1)^2 ?