Nombres Complexes

[real_hopes]

Bonjour! J'ai un DM à rendre pour lundi et je bloque sur certaines questions d'un de mes exercices.

Si vous pouviez m'orienter...

On considère dans l'ensemble C des nombres complexes les équations du 2nd degré à coefficients complexes :

z²-(1+3i)z-6+9i = 0 (1) et z²-(1+3i)z+4-4i = 0 (2)

a. Démontrer que l'équation (1) admet une solution réelle z1, et l'équation (2) une solution imaginaire pure z2.

b. Développer (z-3)(z+2-3i), puis (z-4i)(z-1+i).

c. En déduire les solutions dans C de l'équation :

(z²-(1+3i)z+4+4i)(z²-(1+3i)z+4+4i) = 0 (3)

d. Soit z0 la solution de l'équation (3) dont la partie imaginaire est strictement négative.

Donner la forme trigonométrique de z0.

e. Déterminer les entiers naturels n tels que les points Mn d'affixe z0^n soient sur la droite d'équation y=x.

Je bloque à la a), comme je n'arrive pas à identifier mes termes, je ne peux donc pas calculer le discriminant, si c'est bien ce que je suis supposée faire..

J'ai réussi à faire la b)

Pour la c) j'en ai déduit que les solutions de l'équation étaient z1 et z2 deux solutions complexes conjuguées (normalement trouvées à la question a))

Pour la d) et la e) je ne vois pas comment démarrer..

Merci de votre aide!

[Barbidoux]

z^2-(1+3i)z-6+9i = 0 (1) et z^2-(1+3i)z+4-4i = 0 (2)

a. Démontrer que l'équation (1) admet une solution réelle z1,

z^2-(1+3*i)z-6+9*i = 0 ==> ∆=(1+3*i)^2-4*(6-9*i)=16-30*i= 25-30*i+9*i^2=(5-3*i)^2

deux racines z=((1+3*i)+(5-3*i))/2=3 et z=((1+3*i)-(5-3*i))/2=-2+3*i ==> z^2-(1+3*i)z-6+9i =(z-3)*(z+2-3*i )

et l'équation (2) une solution imaginaire pure z2.

z^2-(1+3i)z+4+4i = 0 ==> ∆=(1+3*i)^2-4*(4+4*i)=-24-10*i=-25-10*i-*i^2 =i^2*(5+i)^2

deux racines z=((1+3*i)+i*(5+i))/2=4*i et z=((1+3*i)-i*(5+i))/2=1-i==> z^2-(1+3i)z+4+4i =(z-4*i)*(z-1+i)

b. Développer (z-3)(z+2-3i), puis (z-4i)(z-1+i).

(z-3)(z+2-3*i)=z^2-(1+3*i)*z-6+9*i

(z-4i)(z-1+i)= z^2-(1+3*i)*z+4-4*i

c. En déduire les solutions dans C de l'équation :

(z²-(1+3i)*z+4+4i)(z²-(1+3i)z+4+4i) = 0 (3)

(z²-(1+3*i)*z+4+4i)(z²-(1+3*i)*z+4+4*i) = (z-3)*(z+2-3*i )*(z-4*i)*(z-1+i)

Les solutions sont

z=3, z=-2+3*i , z=4*i, z=1-i

d. Soit z0 la solution de l'équation (3) dont la partie imaginaire est strictement négative.

Donner la forme trigonométrique de z0.

z=1-i= √2*(Cos(-Pi/4)+i*Sin(-Pi/4))

e. Déterminer les entiers naturels n tels que les points Mn d'affixe z0^n soient sur la droite d'équation y=x.

z0^n=(√2)^n*(Cos(-Pi/4)+i*Sin(-Pi/4))^n =(√2)^n*(Cos(-n*Pi/4)+i*Sin(-n*Pi/4)) Pour que les points d'affixe Mn se trouvent sur la droite d'équation y=x il faut que sin(-n*Pi/4)=-1 soit n =2+8*k