Exercice Sur Les Fonctions

[Maxou62]

Bonjour,

Est ce que vous pouvez m'aider svp.

Soit la fonction f définie par : f(x) = (x^3 -17x -4) / (x² -x -20). On note C_f sa représentation graphique dans le plan rapporté au repère ortho normal (O, i, j).

1) Déterminer la factorisation de N(x) = x^3 -17x -4 par (x+4).

2 Déterminer D_f ensemble de définition de f.

3) Etudier les limites aux bornes de D_f.

4) Trouver une écriture simplifiée de f(x) sur D_f.

5) Calculer f'(x) avec f' fonction dérivée de f.

6) Etudier le signe de f'(x) et former le tableau de variation de la fonction f.

7) Ecrire f(x) sous la forme ax + b + (c / x-5) où a, b et c sont des réels.

8) Montrer que C_f, admet 2 droites asymptotes D₁ et D₂.

Merci beaucoup,

Max

[pzorba75]

Voici quelques éléments de réponse :

Soit la fonction f définie par : f(x) = (x^3 -17x -4) / (x² -x -20). On note C_f sa représentation graphique dans le plan rapporté au repère ortho normal (O, i, j).

1) Déterminer la factorisation de N(x) = x^3 -17x -4 par (x+4).

x^3 -17x -4=(x+4)(x^2+bx+c) par identification après développement il vient 4c=-4 b+4=0 donc x^3 -17x -4=(x+4)(x^2-4x-1)

2 Déterminer D_f ensemble de définition de f.

En résolvant x^2-x-20=0, il vient x1=-4 et x2=5 donc x^2-x-20=(x+4)(x-5) f n'est pas définie pour x=-4 ni pour x=5

3) Etudier les limites aux bornes de D_f.

Quand x_>-infty f ->-infty, x->+infty f(x)->+infty rapport des termes de + haut degré x^3/x2==x (== pour équivalente)

Quand x->5+ f(x) -> +infty , x->5-infty f(x)->-infty x=5 est une asymptote verticale

Pour x=-4, on pose x=-4+a x->-4 équivalent à x->0 alors f==(x^2-4x-1)/(x-5) f(-4)=-31/9

lim f(x) qd x--4 est -31/9 à droite et à gauche on peut prolonger par continuité en -4 par f(-4)=-31/9

4) Trouver une écriture simplifiée de f(x) sur D_f.

f(x)=(x^2-4x-1)/(x-5) sut R-{5} avec f(-4)=-31/9

5) Calculer f'(x) avec f' fonction dérivée de f.

f=u/v u=x^2-4x-1 u'=2x-4 v=x-5 v'=1 f'(x)=[(2x-4)(x-5)-(x^2-4x-1)*1]/(x-5)^2=(x^2-10x+21)/(x-5)^2

6) Etudier le signe de f'(x) et former le tableau de variation de la fonction f.

les racines de x^2-10x+21=0 sont 3 et 7 f' est du signe de x^2-10x+2&, càd >0 si x<3 ou x>7 et <0 pour 3<x<7

f croissante sur ]-infty; 3] et [7;+infty[ et décroissante sur ]3;5[ et ]5;7[

7) Ecrire f(x) sous la forme ax + b + (c / x-5) où a, b et c sont des réels.

f(x)=(x^2-4x-1)/(x-5)=(ax+b)+c/(x-5)=((ax+b)(x-5)+c)/(x-5)=(ax^2+(b-5)x-5b+c)/(x-5) => a=1 b=1 et c=4

f(x) sur R-{-4;5} f(x)=x+1+4/(x-5)

8) Montrer que C_f, admet 2 droites asymptotes D₁ et D₂.

D1 x=5 asymptote verticale

D2 x+1 car en +infty et _infty lim(f(x)-(x+1)=lim4/(x-5)=0

D2 : x+1 asymptote oblique à l'infini.

Au travail pour rédiger tout cela en vérifiant, personne n'est à l'abri d'une erreur en faisant vite.