Dérivée Et Trigonométrie

[mbody94]

bonjour,

voila je doit faire un exercice type bac . j'ai reussi une bone partie de l'exercice, mais il ya seulement 2 question qui me pose probléme et qui sont les suivantes ; la B1 et la B2a.

merci d'avance.

voici l'énnoncé:

Soit C un demi-cercle de centre O, de rayon 1 et d'extrémités I et K.

Pour tout point M du demi-cercle C, on note H le projeté orthogonal de M sur (IK) et A l'air du triangle IHM.

Le but du problème est d'étudier l'aire A suivant la position du point M.

A) Avec des coordonnées

On considère le repère orthonormal (O;OI;OJ), où J est le point d'intersection de la médiatrice de [iK] avec le demi-cercle C.

On note x l'abscisse du point M et on pose A=f(x)

1° Déterminer l'expression de f(x) en fonction de x

2° Soit g la fonction définie sur l'intervalle [-1;1] par: g(x)= (1-x)^3(1+x)

a) dresser le tableau des variations de la fonction g

b) en déduire le tableau des variations de la fonction f.

3° Pour quelle position du point M, l'aire A est-elle maximale? Quelle est la valeur de ce maximum?

B) Avec un angle

On désigne par "alpha" la mesure en radian de l'angle IOM.

1° démontrer que A=1/4(2sin"alpha"-sin2"alpha")

2°Soit h la fonction définie sur [0; pi] par: h(t)= 2sint-sin2t

a) démontrer que, pour tout réel t dans [0;pi], on a: h'(t)= 2(1-cost)(1+2cost)

b) en déduire le tableau des variations de la fonction h

3° retrouver les résultats de la question A3° en utilisant la fonction h.

[pzorba75]

2°Soit h la fonction définie sur [0; pi] par: h(t)= 2sint-sin2t

a) démontrer que, pour tout réel t dans [0;pi], on a: h'(t)= 2(1-cost)(1+2cost)

h(t)=2cos(t)-2cos(2t)=2[cos(t)-2(cos(t))^2+1]=2*(-2)(cos(t)-1)(cos(t)+1/2)=2(1-cost)(1+2cost)

b) en déduire le tableau des variations de la fonction h

Tableau de Variation

1-cos(t) vaut 0 pur t=0 mod[2pi]

1+2cos(t)=0 cos(t)=-1/2 t=2pi/3 mod[2pi]

t | 0 2pi/3 pi

1-cos(t) | 0 + + 2

1+2cos(t) | 3 + 0 - -1

h'(t) + 0 -

h(t) |0 croit Maxi décroit -1

3° retrouver les résultats de la question A3° en utilisant la fonction h.

Tu dois retrouver ce que tu es supposée avoir démontré.

Voici, par curiosité, l'allure des courbes des fonctions utilisées.

[mbody94]

merci zorba pour votre aide précieuse.

mais surtout j'ai besoin d'aide sur une question que j'ai oublier de mettre et qui se trouve à la fin de la parti A, la voici :

3)b. démontrer qu'il existe une position M0 de M, différente de j, tel que l'air A soit égale à celle du triangle OIJ. on donnera un encadrement d'amplitude 10^-2 de l'abscisse x0 de m0.

moi je trouve ça : 0.64<M<0.66 ?

et enfin pourriez vous m'aider sur la question B 1, je suis complétement bloqué :

1° démontrer que A=1/4(2sin"alpha"-sin2"alpha")

PS: j'aimerais bien pouvoir visualiser l'allure des courbes des fonctions utilisées pour pouvoir comparer avec les mienne.

[pzorba75]

Pour B 1 1° démontrer que A=1/4[2sin(alpha)-sin2(alpha)]

A=1/2*sin(alpha)*(1-cos(alpha) ) (regarder le triangle IHM et ses côtés IH=1-cos(alpha) et HM=sin(alpha))

Soit A=1/2*sin(alpha-1/2sin(alpha)*cos(alpha)=1/4[2*sin(alpha)-sin(2*alpha)]

A toi de terminer....