Tibo54 Posté(e) le 18 septembre 2011 Signaler Posté(e) le 18 septembre 2011 Bonjour(ou bonsoir) à tous, je tiens à solliciter votre aide pour un exercice de DM à propos des suites sur lequel je suis un peu bloqué... Voici l'énoncé (je ne mets pour l'instant que la Partie A,si je bloque sur la partie B je vous redemanderez ) On considère la suite (Un) définie par U1=1 et pour tt n de N*, U(n+1)=[n/2(n+1)]*Un+[3(n+2)/2(n+1)] On admet que,pour tt n de N*, U(n)>0 Partie A : 1)Démontrer par récurrence que cette suite est majorée par 3. Je pense que j'ai juste, j'ai calculé lors de la 2ème étape U(k+1)-3,j'ai trouvé alors ceci:U(k+1)-3=k(Uk-3)/2(k-1) Je trouve alors Uk-3 négatif donc U(k+1) négatif et j'en ai conclus U(k+1)<ou=3 d'où la proposition Pn donné dans la question est vraie. 2)a->Montrer que,pour tt n de N*,on a: U(n+1)-Un=[3-Un)(n+2)]/[2(n+1)] b->En déduire le sens de variation de la suite (Un). a->j'arrive jusqu'à ceci: U(n+1)-Un=[-(n*Un)+3n+6-2Un]/[2(n+1)] Mais je n'arrive pas à trouver à partir de là comment arriver à la forme demandée. b->Si U(n+1)-Un positif alors suite croissante et si U(n+1)-Un négatif alors suite décroissante.Je n'arrive pas à trouver si (3-Un) est posit. ou négatif. 3)Prouver que la suite (Un) est convergente.On note L sa limite.Donner une égalité vérifiée par L et trouver L.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 18 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 septembre 2011 La suite ne serait elle pas plutôt : Un+1=[n/(2(n+1))]*Un+[3(n+2)/(2(n+1))] ce qui s'écrit plus simplement Un+1=(n*Un+ 3(n+2))/(2(n+1))
Tibo54 Posté(e) le 18 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 18 septembre 2011 C'est en effet cela oui,désolé
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 18 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 septembre 2011 Il est tard alors, je regarde ce que je peux faire demain si personne ne t'aide d'ici là ...
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 19 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 septembre 2011 1------------------ On vérifie : U1=1<3 ==>U1-3<0 U2=7/3 <3 ==> U2-3<0 U3= 11/4<3 ==> U3-3<0 U4= 29/10<3 ==> U4-3<0 on suppose Un-3<0 et l'on calcule Un+1-3 Un+1=(n*Un+ 3(n+2))/(2(n+1)) Un+1-3=(n*Un+ 3(n+2))/(2(n+1))-3=n*Un+ 3n+6-6*n-6))/(2(n+1)) Un+1-3=n*(Un- 3)/(2(n+1)) or Un-3<0 et n/(2*(n+1))>0 ==> Un+1-3<0 la relation étant héréditaire est vérifiée quelque soit n 2------------------ Un+1-Un=(n*Un+ 3(n+2))/(2(n+1))-Un Un+1-Un=(n*Un+ 3*n+6-2*n*Un-2*Un)/(2(n+1)) Un+1-Un=(-n*Un+ 3*n+6-2*Un)/(2(n+1)) Un+1-Un=(n*(3-Un)+ 2*(3-Un))/(2(n+1)) Un+1-Un=(n+2)(3-Un)/(2(n+1)) Or (3-Un)>0 et (n+2)/(2(n+1))>0 ==>Un+1-Un> et la suite Un est croissante 3------------------ La suite Un est croissante et bornée donc convergente. Comme Un+1-Un=(n+2)(3-Un)/(2(n+1)) et que lorsque n-> ∞ Lim Un+1= Lim Un= L et lim (n+2)/(2*n+1) ->1/2 on en déduit que lorsque x-> ∞ alors Lim (Un+1-Un)=0 =(3-L)/2 et L=3 est la limite de la suite Un .
Tibo54 Posté(e) le 19 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 19 septembre 2011 Bonjour et merci pour la réponse. Je ne comprends juste pas la fin de la question 3). Déjà pourquoi lorsque n-> +∞,Lim Un+1= Lim Un= L ? Ensuite,pourquoi lorsque n-> +∞ lim (n+2)/(2*n+1) ->1/2 ? Et enfin,comment en arrive-t-on à "lorsque x-> ∞ alors Lim (Un+1-Un)=0 =(3-L)/2 et L=3 est la limite de la suite Un ."?
Tibo54 Posté(e) le 19 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 19 septembre 2011 En attente d'une réponse à ma difficile compréhension de la question 3),je rajoute la partie B sur laquelle je bloque également... Partie B: On considère la suite (Vn) définie,pour tt n de N*,par: n(3-Un) 1) Démontrer que cette suite est géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Je calcule V(n+1) et j'arrive jusqu'à: V(n+1)=(n+1)*[(n(-Un+3))/(2(n+1))] Je ne sais pas si j'ai assez simplifié pour calculer ensuite V(n+1)-Vn (apparemment non car quand je calcule ça,il y en a partout...) 2)Exprimer Vn puis Un en fonction de n.Retrouver ainsi la limite de la suite (Un).
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 19 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 septembre 2011 Bonjour et merci pour la réponse. Je ne comprends juste pas la fin de la question 3). Déjà pourquoi lorsque n-> +∞,Lim Un+1= Lim Un= L ? Ensuite,pourquoi lorsque n-> +∞ lim (n+2)/(2*n+1) ->1/2 ? Et enfin,comment en arrive-t-on à "lorsque x-> ∞ alors Lim (Un+1-Un)=0 =(3-L)/2 et L=3 est la limite de la suite Un ."?
Moumouss Posté(e) le 19 septembre 2011 Signaler Posté(e) le 19 septembre 2011 Barbidoux tu pourras m'aider sur mon sujet ? Merci
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 20 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 20 septembre 2011 En attente d'une réponse à ma difficile compréhension de la question 3),je rajoute la partie B sur laquelle je bloque également... Partie B: On considère la suite (Vn) définie,pour tt n de N*,par: n(3-Un) 1) Démontrer que cette suite est géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 2)Exprimer Vn puis Un en fonction de n.Retrouver ainsi la limite de la suite (Un).
Tibo54 Posté(e) le 20 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 20 septembre 2011 Bonsoir et enore merci.Par contre,je Ne comprends pas comment vous passez de là à là: Un+1-Un=(n+2)(3-Un)/(2(n+1)) Un+1-Un=(2n+2-n)(3-Un)/(2(n+1))
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 20 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 20 septembre 2011 Bonsoir et enore merci.Par contre,je Ne comprends pas comment vous passez de là à là: Un+1-Un=(n+2)(3-Un)/(2(n+1)) Un+1-Un=(n+n+2-n)(3-Un)/(2(n+1)) Un+1-Un=(2n+2-n)(3-Un)/(2(n+1))
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