Nombres Complexes

[arbsan]

bonjours à tous ! voilà pour ces exercices je n'arrive pas vraiment pouvez vous me corriger ?

pour l'exercice 20

j'ai calculé l'affixe du vecteur AB at celui de AC

z_AB=z_b -z_A= 1/2 + 3/2i

Z_AC= Zc-Z_A= -2-6i

ensuite j'ai dis que je voulais qavoir s'il était colinéaires le vecteur AB et AC

z_AB= -1/4 AC

ils sont bien colinéaires donc A,B,C sont colinéaires

mais n'y a-t-il pas un autre moyen avec les arguments que quelqu'un pourrait m'expliquer ?

pour l'exercice 5

je ne vois pas comment faire je sais juste que z_M=4+iy et j'ai marqué que Z_M'=4+(6-2y)

je crois que c'est faut mais pourriez vous m'expliquer pourquoi ?

pour l'exercice 18

le but est de trouver les coordonnées de D:

donc j'ai calculé les coordonnées du vecteur BA avec Z_A-Z_B et pareil pour le vecteur BC . je trouve respectivement l'affixe des 2 vecteurs : - 5/2 +3/2i et - 1/2 + 7/2i

ensuite j'additione ces 2 résultats pour trouver l'affixe du point D : -3/2+5i donc les coordonnées de D sont -3/2 et 5

pouvez vous me corriger si c'est faut et m'expliquer pourquoi.

merci d'avance

ps les sujets sont en pièces jointes

[Barbidoux]

20---------------------------

Tu peux facilement déduire les coordonnées d'un point du plan à partir de son affixe.

A{1,i/2}, B{3/2, 2*i},C{-1,-11*i/2}

à partir des coordonnées de ces points tu calcules les coordonnées de

AB{1/2,3*i/2}, AC{-2,-6*i}

Tu peux conclure 4*AB=AC vecteurs colinéaires ou vecteurs colinéaites car même coefficient directeurs =3

5-----------------------------

M{4,y} et M'{4,y'} et (y'+y)/2=3*i ==> y'=6*i-y ==> M'{4,6*i-y}

18----------------------------

Tu peux facilement déduire les coordonnées d'un point du plan à partir de son affixe. Tu calcules les coordonnées de A, B, C. Tu prends D{x,y} et pour que ABCD soit un parallélogramme il faut que AB=DC (relation vectorielle) il te suffit de calculer les coordonnées de AB et DC et de les égaler pour obtenir les valeurs de x et y.

[arbsan]

merci beaucoup Bardiboux pour votre aide précieuse ! j'ai une autre question pour par exemple :

exercice 1

(1/2+(i racine de 3/ 2) ²⁰⁰⁶ je ne sais pas vraiment comment faire ; pouvez vous m'expliquer s'il vous plait ps: je pense qu'il faaut décomposer 2006 mais je sais pas comment

exercice 2

ensuite g un autre exercice : pourriez vous me guider pour les 3 premières réponses ?

le plan complexe T est rapporté au repère orthonormal direct (0, û, ii) (unité graphique: 3 cm).

On désigne par A le point d'affixe i.

À tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par:

?

z'= z² / i-z

1. Déterminer les points M confondus avec leur image M'.

2. Étant donné un complexe z distinct de i, on pose: z = x + iy et z' = x' + iy' avec x, y, x', y' réels.

Montrer que:

x^{' = (}-x(x²+y²-2y)) /(x²+ (1-Y)²

En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M'est située sur l'axe des imaginaires purs.

Dessiner l'ensemble E.

3. Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM'. En déduire l'ensemble F des points M du

plan tels que M et M' soient situés sur un même cercle de centre O.

Dessiner F.

merci d'avance de m'aider

[Barbidoux]

Rapidement pour le premier..

(1/2+i √3/ 2) ²⁰⁰⁶ =(cos(Pi/3)+i*sin(Pi/3))²⁰⁰⁶=exp(i*Pi/3)²⁰⁰⁶=exp(i*2006*Pi/3)=exp(i*(334*6+2)*pi/3)=exp(i*(334*2*pi+(2*pi)/3))=exp(2*i*pi/3))

[arbsan]

merci mais que veut dire "exp " ? sinon on pouvait utiliser (1/2+(i √3/ 2) ²⁰⁰⁶ = 1/2+(i √3/ 2)^668*3+2 je ne comprend pas pourquoi on prend un mult^ple de 3 et pas un multiple de 2 ( pour 668 ) au quel on rajouterait un reste, pouvez vous m'expliquer ? merci de prendre du temps pour moi

[Barbidoux]

Première chose : ton expression n'était pas écrite correctement, il manquait une parenthèse (1/2+(i racine de 3/ 2)) ²⁰⁰⁶ et j'ai considéré que c'était le nombre complexe (1/2+i √3/ 2) qui était à la puissance 2006 et pas sa partie imaginaire i √3/ 2 . Si ce n'était pas le cas dis le moi la repose serait différente.

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Un nombre complexe a plusieurs représentation

Zz=x+i*y= |z|*(cos(a)+i*sin(a))= |z|*exp(i*a)

où x et y sont la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe, a son argument |z|=√(x^2+y^2) son module et exp est la fonction exponentielle (cos(a)+i*sin(a))=exp(i*a)

Comme (cos(a+2*Pi)+i*sin(a+2*Pi))=exp(i*(a+2*Pi))=(cos(a)+i*sin(a))=exp(i*a) il faut mettre 2006/3 sous la forme d(un nombre pair divisible par 3 donc multiple de 6 soit :

2006=(Partie entière de 2006/6)*2+ (2006-6*(Partie entière de 2006/6))/3

2006=334*2+ (2006-2004)/3=334*2+ 2/3

[arbsan]

merci beaucoup!! oui c'est bien ca : le nombre complexe est puissance 2006 mais vu que je n'ai pas encore fait les arguments et modules !! mais j'ai compris !! merci

[Barbidoux]

Marche à suivre pour résoudre le second

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le plan complexe T est rapporté au repère orthonormal direct (0, û, ii) (unité graphique: 3 cm).

On désigne par A le point d'affixe i.

À tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par: ?

z'= z^2 / (i-z ) (oubli des parenthèses !!! Attention c'est très grave et cela peut coûter très cher)

1. Déterminer les points M confondus avec leur image M'.

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on pose z'=z et l'on résout

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2. Étant donné un complexe z distinct de i, on pose: z = x + iy et z' = x' + iy' avec x, y, x', y' réels.

Montrer que:

x' = (-x(x2+y2-2y)) /(x2+ (1-y)2

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on remplace dans z'= z^2 / (i-z ) l'on met le membre de droite sous la forme A+iB ==> x'=A et y'=B

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En déduire l'ensemble E des points M dont l'image M'est située sur l'axe des imaginaires purs.

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Si M est situé sur l'axe des imaginaires purs la partie réelle de z est nulle

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Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM'. En déduire l'ensemble F des points M du

plan tels que M et M' soient situés sur un même cercle de centre O.

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Si les points M du plan sont tels que M et M' soient situés sur un même cercle de centre O alors OM=OM'=>z=z' (voir question 1)

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Dans toute cette question, on considère un point M d'affixe z, situé sur le cercle de centre A et de rayon 1/2 . M' est le point d'affixe z' correspondant, et G l'isobarycentre des points A, M et M'.

Calculer l'affixe zG de G en fonction de z. Montrer que G est situé sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.

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L'affixe de G est déduit de la relation vectorielle GA+GM+GM'=0

On calculera le module de OG pour monter que G se trouve sur en cercle de centre O

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