Limites

[soldier]

G un exo a faire mai jcompren pa trop ...

(merci davance) cet exercice est pour barbidoux

f est définie sur ]-infinie;1/2[inclus]1/2;+infinie[ par f(x)=(2x-2)²/2x-1

On désigne par C la courbe représentative de la fonction f ds un repère orthogonal(o,i,j)

1°) Déterminer les limites de f en 1/2. Les interpréter graphiquement.

2°) a- Déterminer les limites de f en +infinie et en -infinie.

b- Déterminer des réels a,b et c tels que, pour tout x différent de 1/2, f(x)=ax+b+c/2x-1

En deduire que la droite D d'equation y=2x-3 est asymptote oblique a C. Etudier la position relative de D et C.

3°) a- Utiliser la forme trouvée au 2°) b- pour calculer la dérivée f' de f.

b- Etudier les variations de f et dresser le tableau des variations de f. Vérifier la cohérence avec les limites trouvées plus haut.

4°) On appelle I le point d'intersection des deux asymptotes de C. Démontrer que I est centre de symétrie de C.

5°) Construire C et ses asymptotes en précisant aussi les points à tangente horizontale.

6°) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x)=k, où k est un réel donné. ( On discutuera suivant les valeurs du réel k)

[Barbidoux]

f(x)=(2x-2)^2/2x-1 ou f(x)=(2x-2)^2/(2x-1) ????

[soldier]

c'est bien sa ce que vous dites pour la fonction

[Barbidoux]

f est définie sur ]-∞;1/2[ U]1/2;+∞[ par f(x)=(2x-2)^2/(2x-1)

On désigne par C la courbe représentative de la fonction f ds un repère orthogonal(o,i,j)

1°) Déterminer les limites de f en 1/2. Les interpréter graphiquement.

f(x)=(2x-2)^2/(2x-1)=(4*x^2-8*x+4)(2*x-1)

=(4*x^2-2*x-6*x+3+1)(2*x-1)=(2*x*(2*x-1)-3*(2*x-1)+1)/(2*x-1)

f(x)=2*x-3+1/(2*x-1)

lorsque x-> 1/2 par valeurs supérieures alors f(x)≈ 1/0+ -> ∞

lorsque x-> 1/2 par valeurs supérieures alors f(x)≈ 1/0- -> -∞

La droite d'équation x=1/2 est asymtote au graphe de f(x)

2°) a- Déterminer les limites de f en +infinie et en -infinie.

lorsque x-> ∞ alors f(x) ≈ 2*x-3 -> ∞ et la droite d'équation x=2*x-3 est asymptote au graphe de f(x). f(x)-y ->0 par valeurs positives et le graphe de g(x) tend vers son asymtote par valeurs supérieurs.

lorsque x-> -∞ alors f(x) ≈ 2*x-3 -> -∞ et la droite d'équation x=2*x-3 est asymptote au graphe de f(x). f(x)-y ->0 par valeurs négatives et le graphe de g(x) tend vers son asymtote par valeurs inférieures.

b- Déterminer des réels a,b et c tels que, pour tout x différent de 1/2, f(x)=ax+b+c/2x-1

En deduire que la droite D d'equation y=2x-3 est asymptote oblique a C. Etudier la position relative de D et C.

voir au dessus

3°) a- Utiliser la forme trouvée au 2°) b- pour calculer la dérivée f' de f.

f(x)=2*x-3+1/(2*x-1)

f'(x)=2-2/(2*x-1)^2=2*((2*x-1)^2-1)/(2*x-1)^2=2*(2*x-1-1)*(2*x-1+1)/(2*x-1)^2=8*x*(x-1)/(2*x-1)^2

s'annule en x=0 et x=1

b- Etudier les variations de f et dresser le tableau des variations de f. Vérifier la cohérence avec les limites trouvées plus haut.

x.................................0........................1/2.......................1..............................

f'(x).............(+)..........(0).......(-).............||.......(-)............(0)...........(+)............

f(x).........crois..........Max...décrois......||....décrois.....Min......crois...........

4°) On appelle I le point d'intersection des deux asymptotes de C. Démontrer que I est centre de symétrie de C.

I{1/2, -2}

on pose x=X+1/2 et G(X)=f(x)+2==>f(X)= 2*X+1-3+2/(X) ==> f(X)+2= 2*X+2/(X) ==> g(X)=2*X+1/X est une fonction impaire symétrique par rapport à l'origine des axes (X,Y) ==> I{1/2, -2} est centre de symétrie de f(x)

5°) Construire C et ses asymptotes en précisant aussi les points à tangente horizontale.

points a tangente horizontale {0,-4}, {1,0}

6°) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x)=k, où k est un réel donné. ( On discutuera suivant les valeurs du réel k)

le graphe de y=k coupe celui de y=f(x) en deux point lorsque k<f(0)= -4 ce qui signifie que f(x)=k admet deux solutions

le graphe de y=k coupe celui de y=f(x) en un point lorsque k=f(0)= -4 ce qui signifie que f(x)=k admet une solution qui est {0, f(0)}

le graphe de y=k ne coupe pas celui de y=f(x) f(0)= -4< k < f(1)= 0 ce qui signifie que f(x)=k n'admet pas de solutions réelles

le graphe de y=k coupe celui de y=f(x) en un point lorsque k=f(1)= 0 ce qui signifie que f(x)=k admet une solution qui est {1, 0}

le graphe de y=k coupe celui de y=f(x) en deux point lorsque k>f(1)= 0 ce qui signifie que f(x)=k admet deux solutions

[soldier]

pouvez vous detaillez pour la question 2 b

[Barbidoux]

f(x)=(2x-2)^2/(2x-1)=(4*x^2-8*x+4)(2*x-1)=(4*x^2-2*x-6*x+3+1)(2*x-1)=(2*x*(2*x-1)-3*(2*x-1)+1)/(2*x-1)

f(x)=2*x-3+1/(2*x-1)