Des Calcules De Limite Et De Fonctions

[gege2007]

Soit la fonction définie sur ]0,+infini[ par f(x)=Racine de (x^2+1)-1/x

1)

Montrer que pour tout x>0

a)0<f(x)<x

b)1-1/x <f(x)<1

2)

Représenter graphiquement dans un même repère pour x>0, les courbes d’équation y =1-1/X, y=x et y=1. Hachurer la partie plan dans laquelle va se trouver la courbe représentant f.

3)

Calculer les limites de f(x) en 0 et en +infini.

Merci d'avance.

[Barbidoux]

1---------------------

x>0

x^2>x^2+1 ==> x>√(x^2+1) ==> x*√(x^2+1)<x^2+1 ==> x*√(x^2+1)-1<x^2 ==> √(x^2+1)-1/x<x ==> f(x) < x

------------

1<x^2+1 ==> 1< √(x^2+1) ==> x<x*√(x^2+1) ==> x-1<x*√(x^2+1)-1 ==> 1-1/x<√(x^2+1)-1/x ==> 1-1/x< f(x) < x

2----------

3-----------

x->0 ==> f(x)=√1-1/0 -> -∞

x->∞ ==> f(x) √∞-1/∞-> ∞