Exercice Sur Les Limites

[Tite_Ma]

Bonjour, voilà j'ai un exercice que j'arrive pas à resoudre :s

On se propose d'éetider la fonctionf définie sur R par f(x) = (racine carré) V x²+1

a. Préciser la parité de f et étudier ses variations

je crois qu'il faut mettre la dérivé de f ce qui ferait f(x) = (raci) u(x) / f ' (x) = u ' / ( 2 (raci) V u ) donc f '(x) = x² / ( 2 V(raci) 1 )

b. Quelles sont les limites de f au voisinage de 0 et de +inf ?

c. Montrer que la bissectrice des axes (delta) d'équation y=x est asymptote à la courbe repésentative de f et préciser la position de la courbe par rapport à (delta) .

Indiation : utiliser la quantité conjuuée d'une différence comportant des radicaux.

d. Donner une allure possible de la courbe représentative de f.

Les courbe forment un V car y=x

Merci d'avance

[Tite_Ma]

donc f' (x) = x/((x²+1)

puis les limites j'ai trouvé :

lim V(x²+1)=+inf

x -> +inf

limf(x)=f(0)=1

x ->0

[pzorba75]

Bonjour, voilà j'ai un exercice que j'arrive pas à resoudre :s

On se propose d'éetider la fonctionf définie sur R par f(x) = (racine carré) V x²+1

a. Préciser la parité de f et étudier ses variations

Parité f(-x)=sqrt((-x)^2+1)=sqrt(x^2+1)=f(x) F est paire, on l'étudie du [0;+infy[.

f'x)=2x/(2*sqrt(x^2+1)=2x/sqrt(x^2+1)

f' est tjrs >0 sur [O;+infy[ => f est croissante (et par symétrie décroissante sur ]-infy;0] f'(0)=0

je crois qu'il faut mettre la dérivé de f ce qui ferait f(x) = (raci) u(x) / f ' (x) = u ' / ( 2 (raci) V u ) donc f '(x) = x² / ( 2 V(raci) 1 )

b. Quelles sont les limites de f au voisinage de 0 et de +inf ?

f(0)=1 lim{x->+infy}f(x)=+infy et lim{x->-infy}f(x)=+infy (parité)

c. Montrer que la bissectrice des axes (delta) d'équation y=x est asymptote à la courbe repésentative de f et préciser la position de la courbe par rapport à (delta) .

Indiation : utiliser la quantité conjuuée d'une différence comportant des radicaux.

Sur [0;+infty[, f(x)-x=((sqrt(x^2+1)-x)(sqrt(x^2+1)+x)/(sqrt(x^2+1)+x)=(x^2+1-x^2)/(sqrt(x^2+1)+x)=>lim{x->+infty}f(x)-x=1/infy=0 d'où y=x asymptote en +\infty la droite d'équation y=x est au dessous de la courbe de f.

d. Donner une allure possible de la courbe représentative de f.

Les courbe forment un V car y=x

Attention à la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, parité oblige.

Au travail et bonne journée.

Merci d'avance