Tétraèdre Abcd

[jen717]

Bonjour,

J'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice s'il vous plait !

Soit un tétraèdre ABCD. On prend le symétrique du sommet A par rapport aux milieux respectifs des segments BC, CD et DB. Soit D', B' et C' les points ainsi obtenus.

On se propose de montrer que les droites (BB'), (CC') et (DD') sont concourantes. Vérifier que (A, vecteurAB, vecteurAC, vecteurAD) est un repère de l'espace.

1) Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites (BB4), (CC') (DD')

2) Montrer que ces droites sont concourantes en un point I que l'on précisera.

Merci d'avance.

[Barbidoux]

Soit un tétraèdre ABCD. On prend le symétrique du sommet A par rapport aux milieux respectifs des segments BC, CD et DB. Soit D', B' et C' les points ainsi obtenus.

On se propose de montrer que les droites (BB'), (CC') et (DD') sont concourantes. Vérifier que (A, vecteurAB, vecteurAC, vecteurAD) est un repère de l'espace.

Coordonnées des ppoints dans ce repère

A{0,0,0}, B{1,0,0},C{0,1,0},D{0,0,1}

D'{1,1,0},B'{0,1,1}, C'{1,0,1}

1) Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites (BB'), (CC') (DD')

BB'{-1,1,1},CC'{1,-1,1} et DD'{1,1-1}

Equation paramétrique de BB' :

On choisit un point M{x,y,z} appartnant à BB' et l''équation paramétrique de la droites BB' est dédute de la relation a*BB'=BM

BM{x-1,y,z} ==>équation paramétrique de BB' :

x=-a+1

y=a

z=a

Même raisonnement pour CC'. On choisit un point M{x,y,z} appartnant à CC' et l''équation paramétrique de la droite CC' est dédute de la relation b*CC'=CM

x=b

y=-b+1

z=b

Même raisonnement pour DD'

x=c

y=c

z=-c+1

2) Montrer que ces droites sont concourantes en un point I que l'on précisera.

Les droites BB' et CC' se coupent au point de coordonnées satisfaisant les équations paramétriques des deux droites ==> b= -a+1 et b=a ==> a=b=1/2 soit le point de coordonnées {1/2,1/2,1/2}

Les droites CC' et DD' se coupent au point de coordonnées satisfaisant les équations paramétriques des deux droites ==> b= -c+1 et b=c ==> a=b=1/2 soit le point de coordonnées {1/2,1/2,1/2}

Conclusion : les droites BB', CC' et DD' sont concourantes au point I{1/2,1/2,1/2}.

[jen717]

Merci d'avoir répondu si rapidement !!

Ce que je ne comprends est dans cette égalité b= -a+1 et b=a ==> a=b=1/2

Comment faites vous pour trouver b = a ?

Merci

[Barbidoux]

Merci d'avoir répondu si rapidement !!

Ce que je ne comprends est dans cette égalité b= -a+1 et b=a ==> a=b=1/2

Comment faites vous pour trouver b = a ?

Merci