Suites Numériques -1Ère Stg N°2

[jerem=besoins d'aide]

Exercice 2=

Au 1er janvier 2006, une personne possède 3000€ sur un compte non rémunéré. chaque mois, elle retire 10 % de ce qui lui reste sur ce compte , et y verse 100€ offerts par une parente.

1) Calculer la somme disponible sur ce compte au 1er de chacun des quatre mois à venir ; on complétera le tableau ci-dessous.

(tableau en fichiers joint)

2.a. Si l'on note S_n la somme disponible sur le compte n mois après 1er janvier 2006, montrer que l'expression de s _n+1 en fonction de s_n est :

s_n+1 =0,9 s_n +100.

b. la suite (s_n) est-elle arithmétique ?

la suite (s_n) est -elle géométrique ?

3. On voit que la somme disponible sur le compte semble diminuer, et on voudrait savoir si elle va atteindre ( ou descendre sous) 1000 €, et si oui, quand.

merci pour votre aide. je peut vous aider en échange sur d'autre matières ..demandez moi..

[Barbidoux]

Exercice 2=

Au 1er janvier 2006, une personne possède 3000€ sur un compte non rémunéré. chaque mois, elle retire 10 % de ce qui lui reste sur ce compte , et y verse 100€ offerts par une parente.

1) Calculer la somme disponible sur ce compte au 1er de chacun des quatre mois à venir ; on complétera le tableau ci-dessous.

2.a. Si l'on note Sn la somme disponible sur le compte n mois après 1er janvier 2006, montrer que l'expression de s n+1 en fonction de sn est :

s_n+1 =0,9 s_n +100.

---------------------

s₁=0,9*s₀+100

s₂=0,9*s₁+100=0,9²*s₀+0,9*100+100=0,9²*s₀+100+100*0,9

s₃=0,9*s₂+100=0,9³*s₀+0,9²*100+0,9*100+100=0,9³*s₀+100(1+0,9+0,9²)

.....................

s_n+1=0,9*s_n+100=0,9ⁿ*s₀+100*(1+0,9+0,9²+........+0,9ⁿ)

b. la suite (sn) est-elle arithmétique ?

s_n+1 - s_n=100-0,1*s_n ==> la suite n'est pas arithmétique

la suite (sn) est -elle géométrique ?

s_n+1 / s_n=0,9+100 /s_n ==> la suite n'est pas géométrique

3. On voit que la somme disponible sur le compte semble diminuer, et on voudrait savoir si elle va atteindre ( ou descendre sous) 1000 €, et si oui, quand.

s_n+1 - s_n=100-0,1*s_n montre que la suite S_n est décroissant si s₀>1000, constante si s₀=1000 et décroissante lorsque s₀>1000

-----------------------

s_n+1=0,9*s_n+100=0,9ⁿ*s₀+100*(1+0,9+0,9²+........+0,9ⁿ)

comme 1+0,9+0,9²+........+0,9ⁿ =(1-0,9ⁿ)/(1-0,9) (somme de n termes d'une suite géométrique de raison 0,9)

S_n+1==0,9ⁿ*s₀+100*(1-0,9ⁿ)/(1-0,9)

Lorsque n-> ∞ alors 0,9ⁿ->0 et

Lim S_n+1 -> 100/(1-0,9)=1000 et la somme disponible sur le compte ne descendra jamais en dessous 1000 €

4. On note En l'écart qu'il y a entre la somme disponible sur le compte et 1000 € , n mois après 1 er janvier 2006.

a. Exprimer En en fonction de sn et En+1 en fonction de Sn+1.

E₀=s₀-1000

E₁=s₁-1000=0,9*s₀+100-1000=0,9*s₀-900

E₂=s₂-1000=0,9*s₁+100-1000=0,9*s₁-900

.................

E_n=s_n-1-1000=0,9*s_n+100-1000=0,9*s_n-1-900

E_n+1=s_n-1000=0,9*s_n+100-1000=0,9*s_n-900

A l'aide de la question 2.a. montrer que : En+1 = 0,9 En .

E_n+1/En=(0,9*s_n-900)/(0,9*s_n-1-900)=0,9*(s_n-1000)/(0,9s_n-1-900)

comme s_n=0,9*s_n-1+100 ==> s_n-1000=0,9*s_n-1-900 ==>E_n+1/E_n=0,9

en déduire la nature de la suite (En) , et l'expression de En en fonction de n.

En est une suite géométrique de premier terme E₀=2000 de raison r=0,9 et de terme général E_n=0,9*E_n-1=0,9ⁿE₀=2000*0,9ⁿ

b. Quel écart y aura t-il entre la somme disponible sur le compte et 1000 € , au 1er novembre 2006 ? (on arrondira)

le 1er novembre est le 11 ème ce qui correspond à ==> E₁₀=2000*0,9¹⁰=697,35=697 €

c. Quelle somme sera disponible sur le compte, au 1er janvier 2010 ?(on arrondira)

la somme disponible sur le compte pourra-t-elle descendre sous les 1000 € ? Si oui, en combien de mois?

le 1er janvier est le 12 ème mois ce qui correpond à E₁₁=2000*0,9¹¹=627,621=628 €

5. Chaque fois que la somme disponible sur le compte baisse de 500 €, la banque envoie un avis.

Indiquer les mois et années où elle devra envoyer cet avis, en remplissant le tableau joint.