Exercice D'application À La Dérivation

[malekoumsalam]

Bonjour à tous :

J'utilise pour la première fois ce site d'aide au devoir car je suis vraiment dans la panique... j'ai un DM a faire pour le lundi de la rentrée, seulement je n'y comprend rien.... Je ne sais pas comment m'y prendre pour y arriver. Voici l'énoncé de cet exercice :

Pour conditionner des peits fours, un fabricant veut utiliser une boîte en carton de contenance 1/2 dm³.

Sa base est un carré de côté x et sa hauteur est notée h.

x et h sont exprimés en dm.

Par respect pour l'environnement et par souci d'économie, il souhaite fabriquer des boîtes dont l'aire est minimale.

1)a) Exprimer h en fonction de x.

b) Démontrer que l'aire des neuf faces s'exprime sous la forme A(x)=2x²+(3,5/x).

2)a) Etudier les variations de xx³ sur ]0;+[.

b) En déduire les solutions de l'inéquation x³ 7/8.

3)a) Etudier les variations de la fonction A sur ]0;+[ (on s'aidera de la question 2)b))

b) En déduire les dimensions de la boîte d'aire minimale.

Voici une image (pas très nette mais je ne pouvais pas faire mieux désolé) de la boîte en carton en question en pièce jointe. Je vous remercie d'avance de me venir en aide car je vous avoue que là je n'y comprend rien

[Barbidoux]

D'après le patron de la boite :

V(x)=x^2*h=1/2 ==> h=1/(2*x^2)

A(x)=2*x^2+7*x*h =2*x^2+7/(2*x)

f(x)=x^3 ==> f'(x)=3*x^2 >0 qq soit la valeur de x fonction croisante sur son intervalle de défintion ]0 ∞[

x^3 7/4 ==> x (7)^(1/3)/2

A(x)=(4*x^3+7)/(2*x) ==> A'(x)=6*x-(7+x^3)/(2*x^2) =4*x-7/(2*x^2)=(8*x^3-7)/(2*x^2)

0.................................(7)^(1/3)/2..................................

A'(x).........(-)..................(0)...................(+).....................

A(x).......decrois..........Min................crois................

Boite d'aire minimale

x=(7)^(1/3)/2=0.956 dm =9,56 cm

h=1/(2*x^2)=1/(2*0.9564*0.9564) =0,547 dm=5,47 cm