Devoir Maison Limite Variation

[maryam-13]

je vous mes l'adressee ou il y mon sujet pouvez vous m'aider pour la question 6 et 7

http://www.cyberpapy.com/viewtopic.php?f=5&t=718174

[Barbidoux]

On considere la fonction f définie sue d= r /[1} par f(x)=(x^2-x+4)/(2(x-1))

on note C la courbe représentative de f dans un repere orthonormée (o,i,j) d'unité graphique 2 cm .

1) determiner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2)a) montrer que C admet deux asympototes dont l'une notée delta a pour équation y=x/2.

b) etudier les positions relatives de C et delta .

f(x) est définie sur l'intervalle ]- ∞, 1[ U ]1, ∞[ (division par 0 impossible)

Lorsque x-> 1⁺ alors f(x)=(x^2-x+4)/(2(x-1))=4/0⁺ -> ∞ et la droite d'équation x=1 est est assymptote au graphe de f(x)

Lorsque x-> 1^- alors f(x)=(x^2-x+4)/(2(x-1))=4/0^- -> -∞ et la droite d'équation x=1 est est assymptote au graphe de f(x)

Lorsque x-> ∞ alors f(x) ≈ x^2/2*x=x/2 car x^2 >> -x +4 d'une part et x>>1 d'autre part et f(x)≈x/2-> ∞ la droite d'équation y=x/2 est assymptote au graphe de f(x).

Lorsque x-> -∞ alors f(x) ≈ x^2/2*x=x/2 -> -∞ la droite d'équation x/2 est assymptote au graphe de f(x)

f(x)-x/2=(x^2-x+4)/(2(x-1))-x/2=(x^2-x+4-x^2+x)/(2(x-1))=2/(x-1) et le graphe de f(x) est au dessus de son assymtote pour x>1 et en dessous lorsque x<1

3)calculer f'(x) puis etudier les variations de f sur D.

on dressera un tableau de variation complet .

f'(x)=(2 x-1)/(2 (x-1))-(x^2-x+4)/(2 (x-1)^2)=(x^2-2 x-3)/(2 (x-1)^2)

(x^2-2 x-3) est un polynôme qui admet deux racines x=-1 et x=3 et qui est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines

x...........................................-1......................1...................3.....................

(x^2-2 x-3).............(+)..........(0).......(-)....................(-)...........(0)........(+)........

f'(x).........................(+)..........(0).......(-)...........||......(-)..........(0).........(+)......

f(x).......................crois.......Max...decrois.......||.....decrois...Min....crois........

4)a) determiner une équation de la tangente (t) à la courbe © au point d'abscisse 0.

équation de la tangente au point d'abscise a (lorsqu'elle existe) au graphe de f(x) ==> y=f'(a)*(x-a)+f(a)

f'(0)=-3/2 et f(0)=-2 ==>y=-(3/2)*(x-0)+2=-3x/2-2

b) existe-il une tangente à © parallele à la droite delta?

Pour que cette tangente existe il faut qu'elle ait le m^me coefficient directeur que ∆ soit f'(x)=(x^2-2 x-3)/(2 (x-1)^2)=1/2 . Cette équation n'ayant pas de solution, il n'exite pas de tangente à C parallele à la droite delta

5) constrsuire la courbe et les asymptote

6)soit k un réel . en utilisant la représentation graphique de © , déterminer suivant la valeur de k le nombre de solutions de l'équation f(x)=k.

f(x)=(x^2-x+4)/(2(x-1))=k comme x 1 ==> x^2-x+4=2*x*k-2*k ==> x^2-x-2*x*k+4+2*k=x^2-x*(1-2*k)+4+2*k==> ∆=(1+2*k)^2-4*(4*2*k) =4*k^2-28*k+1. Ce polynôme est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines qui valent : k=(7-4√3)/2 et k=(7+4*√3)/2 donc deux solution lorsque k se trouve dans l'intervalle ]-∞ , (7-4√3)/2[ U ](7+4√3)/2, ∞[ une solution lorsque k=(7-4√3)/2 et k=(7+4*√3)/2 et pas de solution sur ](7-4√3)/2, (7+4√3)/2[

7)Soit F une fonction définie sur d et dont la dérivée est la fonction f, c'est-à-dire F'=f . Etudier les variations de F puis dresser son tableau de variation sur D.

x.........................1...........................

f(x).......(-)...........||..............(+).........

F(x)....decrois.......||......crois..............

[maryam-13]

merci beaucoup et vous etes sur que c'est tout juste par contre pour la question 6 je ne comprend pas

[Barbidoux]

J'ai fait un erreur de calcul mais le raisonnement est bon je reprends.....

--------------------------

6)soit k un réel . en utilisant la représentation graphique de © , déterminer suivant la valeur de k le nombre de solutions de l'équation f(x)=k.

f(x)=(x^2-x+4)/(2(x-1))=k comme x /uploads/emoticons/default_different.gif">/uploads/emoticons/default_different.gif">/uploads/emoticons/default_different.gif">/uploads/emoticons/default_different.gif">/uploads/emoticons/default_different.gif">http://www.e-bahut.com/uploads/emoticons/default_different.gif' alt='<>'> 1 ==> x^2-x+4=2*x*k-2*k ==> x^2-x-2*x*k+4+2*k=x^2-x*(1+

2*k)+4+2*k. Ceci est un polynôme second degré qui admet deux racines lorsque son discriminant est >0

Le discriminant ∆=(1+2*k)^2-4*(4+2*k) =4*k^2+12*k-15 est un polynôme du second degré en k du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines qui valent : k=-3/2 et k=5/2 donc deux solution lorsque k se trouve dans l'intervalle ]-∞ , -3/2[ U ]5/2, ∞[ une solution lorsque k=-3/2 et k=5/2 et pas de solution sur ]-3/2, 5/2[

Ce qui graphiquement correspond à :