Intégrale

[Marabou]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour un exercice sur les intégrales mais je vous avouerais ne pas avoir compris grand chose de ce chapitre , donc si je peux avoir quelques explications ! Voici l'exercice:

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [¼; + Infini[ par f(x) = x – 4 Racine x + 5 et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,I,J) - (Unités : 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée).

1/ Déterminer la limite de f en +Infini

2/ Étudier les variations de la fonction f. Tracer la courbe C sur l’intervalle [¼ ;16]

3/ Déterminer la dérivée de la fonction g définie sur ]0;+Infini[ par g(x)= x Racine x .Exprimer alors Racine de x, puis f(x) à l'aide de g'(x). En déduire qu’une primitive F de la fonction f sur [¼; + Infini[ est définie par f(x) = 1/2x² – 8/3xRacine de x + 5x.

4/ Calculer l’aire, en cm², du domaine (D) limité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = ¼ et x = 4 On donnera la valeur exacte, sous forme décimale, ainsi qu’une valeur arrondie au mm² près.

5/ Résoudre l’équation f(x) = 2 . On appellera α et Béta les racines, avec α < Béta. Calculer l'intégrale A= Intégrale de α à Béta de f(x) dx. Que représente graphiquement l’intégrale A ?

Merci d'avance de votre aide !

Marabou !

[Barbidoux]

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [1/4; + Infini[ par f(x) = x – 4√ x + 5 et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,I,J) - (Unités : 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée).

1/ Déterminer la limite de f en +Infini

Lorsque x->∞ ==> x – 4√ x >5 ==> f(x) ≈x – 4√ x =√(x)*(√x-4) et comme √x >> 4 ==> f(x) ≈x^2 -> ∞

2/ Étudier les variations de la fonction f. Tracer la courbe C sur l'intervalle [1/4 ;16]

f'(x)= 1-2/√x =(√(x)-2)/√x

x.............................4........................

f'(x).........(-)...........(0)...........(+).......

f(x)......decrois....Min.........crois.....

3/ Déterminer la dérivée de la fonction g définie sur ]0;+Infini[ par g(x)= x√ x .Exprimer alors Racine de x, puis f(x) à l'aide de g'(x). En déduire qu'une primitive F de la fonction f sur [1/4; + Infini[ est définie par f(x) = 1/2x^2 – 8/3x*√x + 5x.

g(x)=x*√x=x^3/2

g'(x)=(3/2)*√x

on en déduit que g(x) est la primitive de (3/2)*√x donc que (2/3)*x*√x est la primitive de √x

f(x)=x-4*√x+5 ==> F(x)=x^2/2-4*(2/3)*x*√x+5*x =x^2/2-(8/3)*x*√x+5*x est une primitive de f(x) 4/ Calculer l'aire, en cm^2, du domaine (D) limité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1/4 et x = 4 On donnera la valeur exacte, sous forme décimale, ainsi qu'une valeur arrondie au mm^2 près.

L'aire du domaine (D) limité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1/4 et x = 4, vaut :

Intégrale de 1/4 à 4 de f(x)= [f(x)]1/44= 183/32=5.71875 cm^2=572 mm^2

5/ Résoudre l'équation f(x) = 2 . On appellera a et Béta les racines, avec a < Béta. Calculer l'intégrale A= Intégrale de a à Béta de f(x) dx. Que représente graphiquement l'intégrale A ?

f(x)=2 =x – 4√ x +5 ==> x – 4√ x +3=0 ==> (x+3)^2=16*x ==> x^2+6*x+9=16*x ==> x^2-10*x+9=0 ==> (x-5)^2-16=0 ==> (x-9)*(x-1)=0 deux racines x=9 et x=1

Intégrale de 1 à 9 de f(x)= [f(x)]19= 32/3=10,6667 cm^2

Elle représente l''aire du domaine limité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 9.