Les Suites

[jen717]

Bonjour,

Pouvez vous me dire si les deux premiers exercices sont justes s'il vous plait ?

Exercice 1 :

On considère une suite (Un) positive et la suite (Vn) définie par : Vn = (Un)/ (1+Un)

Les propositions sont elles vraies ou fausses ? Justifier dans chaque cas

1) Si (Un) converge alors (Vn) converge

2) Pour tout n de N, Vn≤ Un

3) Si (Un) décroit alors (Vn) décroit

4) Si (Vn) converge alors (Un) converge

Alors j'ai mis:

1) Vrai

2) Vrai

3) Vrai

4) Faux

Exercice 2: Soit (Un) n appartenant à N la suite définie par u0 = 1 et Un+1 = un/4 - 7/4

1) Calculer u1, u2 et u3

2) Déterminer un réel a tel que la suite (Vn) avec n appartenant à N définie par Vn = Un-a soit géométrique. Déterminer alors sa raison et son 1er terme

3) Exprimer Vn puis Un en fonction de n

4) Exprimer en fonction de n, Sn = u0+u1+.... un

J'ai répondu

1) u1 = -3/2

u2 = -17/8

u3 = -73/32

2) a = -7/3

V0 = 10 /3

q = 1/4

3) Exprimons Vn en fonction de n

Vn = 10 /3 * (1/4)^n

4) Sn = -(10 /9) (1/4)^n - (7/3)^n + 19/9

Merci beaucoup.

[Barbidoux]

Exercice 1 :

On considère une suite U_n positive et la suite Vn définie par : V_n = U_n/ (1+U_n)

Les propositions sont elles vraies ou fausses ? Justifier dans chaque cas

1) Si Un converge alors Vn converge

Vrai car L=lim (n->∞)Un ==> lim (n->∞) V_n=L/(1+L)

2) Pour tout n de N, Vn≤ Un

Vrai car U_n >0 ==> V_n =U_n /(1+U_n ) < U_n

3) Si Un décroit alors Vn décroit

Vrai car V_n+1 > V_n=U_n /(1+U_n )

4) Si Vn converge alors Un converge

Vrai si L=lim (n->∞)V_n 1 car U_n =V_n /(1-V_n ) et si K=lim (n->∞)V_n alors lim (n->∞) U_n=K/(1-K)

Exercice 2: Soit (U_n) n appartenant à N la suite définie par u₀ = 1 et U_n+1 = u_n/4 - 7/4

1) Calculer u₁, u₂ et u3

u₁ = -3/2

u₂ = -17/8

u₃ = -73/32

2) Déterminer un réel a tel que la suite Vn avec n appartenant à N définie par Vn = Un-a soit géométrique. Déterminer alors sa raison et son 1er terme

v_n =u_n -a = u_n-1/4 -7/4-a =(u_n-1 -7-4*a)/4

u_n -a est géométrique si u_n-1 -7-4*a=u_n-1 -a ==> a = -7/3.

Dans ce cas v_n=un est une géométrique de raison1/4 et de premier terme v₀=u₀+7/3=10/3

3) Exprimer Vn puis Un en fonction de n

v_n =u_n +7/3 ==> v_n=(10/3)*1/4^n ==> u_n=(10/3)*1/4^n -7/3

4) Exprimer en fonction de n, Sn = u0+u1+.... un

S_n=1+(10/3)*1/4 -7/3+(10/3)*1/4^2 -7/3+(10/3)*1/4^3 -7/3+.......+(10/3)*1/4ⁿ -7/3

S_n=-1-7*n/3 +(10/3)*(1/4)*(1+1/4+........1/4ⁿ))

S_n=-1-7*n/3 +(10/3)*(1/4)*((1-1/4ⁿ)/(1-1/4)

S_n=-1-7*n/3 +(10/9)(1-1/4ⁿ)

a vérifier.........

[jen717]

Merci de m'avoir corrigée

[jen717]

Bonsoir,

Pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice s'il vous plait ?

Soient (Un) avec n appartenant à N étoile et (Vn) avec n appartenant à N étoile, les suites définies par :

Un = (1/(1^2+1)) +(1/(2^2+1))+ .... + (1/(n^2+1)) = nsigma k = 1 (1/(k^2+1))

et Vn = Un + 1/n

1) Calculer u1, u2, u3,, v1, v2, v3

2) Montrer que la suite (Un) est croissante

3) Montrer que la suite (Vn) est décroissante

4) En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite. On note l cette limite

5) Déterminer une valeur de n tel que Un soit une valeur approchée de l à 10^-1 près

6) Donner une valeur approchée de l à 10^-1 près (on expliquera la méthode utilisée, on précisera l'outil éventuellement utilisé: calculatrice, tableur....)

Merci

Désolée pour l'écriture, j'espère que vous me comprendrez.

[Barbidoux]

2---------

u_n+1-u_n=1/((n+1)^2+1) >0 donc u_n est croissante

3---------

v_n+1-v_n=u_n+1-u_n+1/(n+1)-1/n=1/((n+1)²+1)-1/n*(n+1)

=(n*(n+1)-(n+1)²-1)/(n*(n+1)*(((n+1)²+1))

=(-n-2)/(n*(n+1)*(((n+1)²+1)) <0 donc v_n est décroissante

4---------

lorsque n-> ∞ alors 1/n ->0 ==> lim u_n=lim v_n=L

5---------

v_n-u_n=1/n

L-u_n <0,1 ==>v_n-u_n=1/n<0,1 ==>n>10

[jen717]

Merci, mais je n'ai pas très bien compris deux choses. La première comment avez vous fait le tableur ?

Et puis pour calculer u1, u2,u3, v1, v2 et v3. Si je calcule u1, il faut remplacer n par 1. Cela reviendrait à faire:

u1 = 1/(1^2+1)+ 1/(2^2+1)+....= 1/(1^2+1)

u1 = 1/2 + 1/5 + .... 1/2

Mais après je suis bloquée. u1 serait égal à quoi ?

Merci encore

[Barbidoux]

Merci, mais je n'ai pas très bien compris deux choses. La première comment avez vous fait le tableur ?

Et puis pour calculer u1, u2,u3, v1, v2 et v3. Si je calcule u1, il faut remplacer n par 1. Cela reviendrait à faire:

u1 = 1/(1^2+1)+ 1/(2^2+1)+....= 1/(1^2+1)

u1 = 1/2 + 1/5 + .... 1/2

Mais après je suis bloquée. u1 serait égal à quoi ?

Merci encore

[jen717]

Merci. J'ai compris ce qu'il fallait faire !!